Vektorrum: Forskelle mellem versioner

Inden for [[matematik]] er et '''vektorrum''' en særlig [[algebraisk struktur]]. [[Definition]]en af et vektorrum er inspireret af de sædvanlige [[geometri]]ske vektorer, og den sikrer at der er to regneoperationer, nemlig addition af vektorer og multiplikation af vektorer med [[skalar]]er (se næste afsnit), som opfører sig tilstrækkelig skikkeligt til at man kan "regne" i vektorrummet som med almindelige [[Vektor (geometri)|geometriske vektorer]] (disse er således et specialtilfælde af vektorer).

 

: <math>+ : V\times V \to V</math>

og

*#<math>r(\vec{u}+\vec{v})=r\vec{u}+r\vec{v}</math> for alle <math>r\in\mathbb{K}</math> og <math>\vec{u},\vec{v}\in V</math> ([[distributivitet]] over additionen i <math>V</math>)

*#<math>(r+s)\vec{v}=r\vec{v}+s\vec{v}</math> for alle <math>r,s\in\mathbb{K}</math> og <math>\vec{v}\in V</math> (distributivitet over additionen i legemet <math>\mathbb{K}</math>)

Elementerne i <math>V</math> kaldes da ''vektorer'', mens elementerne i <math>\mathbb{K}</math> kaldes ''skalarer''.

 

Vektorrum er centrale inden for disciplinen [[lineær algebra]], men de forekommer også inden for (stort set alle) mere avancerede matematiske områder.

 

En ikke-tom delmængde <math>W\subseteq V</math> kaldes et ''underrum'' af vektorrummet, hvis det er lukket under addition af vektorer og multiplikation med skalar, altså hvis <math>v+w</math> er indeholdt i <math>W</math> for alle <math>\vec{v},\vec{w} \in W</math> og <math>r\vec{v}</math> er indeholdt i <math>W</math> for alle vektorer <math>\vec{v} \in W</math> og skalarer <math>r \in \mathbb{K}</math>. Et underrum af et vektorrum <math>V</math> er i sig selv et vektorrum (over samme legeme), med de samme (men restringerede) regneoperationer.

 

En mængde <math>B</math> af vektorer fra <math>V</math> kaldes en ''basis'' for vektorrummet hvis det gælder at ''ethvert'' element <math>\vec{v}\in V</math> på én og kun én måde kan opskrives som et udtryk af typen

: <math>\vec{v} = r_1\vec{b_1} + r_2\vec{b_2} + r_3\vec{b_3} + \ldots + r_k\vec{b_k}</math>

Hvis <math>\mathbb{K}</math> er et [[endeligt legeme]] med <math>p^m</math> elementer, og <math>V</math> er et <math>d</math>-dimensionalt vektorrum over <math>\mathbb{K}</math>, så indeholder <math>V</math> præcis <math>(p^m)^d</math> vektorer.

 

 

Mængden af alle "formelle" polynomier (med reelle [[koefficient]]er) i en (abstrakt) [[variabel]] <math>T</math> er et vektorrum. To polynomier kan nemlig adderes hvorved man får et nyt polynomium, man kan gange et polynomium med et [[tal]], og alle ovenstående aksiomer (krav) er opfyldt.

Mængden af sådan polynomier af [[grad (matematik)|grad]] højst [[2 (tal)|2]] er et underrum heraf. Dette underrum har dimension [[3 (tal)|3]] da en basis for det fx er <math>B = \{ T^2, T, 1 \}</math>.

 

*<math> (f+g)(x) = f(x) + g(x) </math>

*<math> (rf)(x) = r (f(x)) </math>

For eksempel er mængden af alle funktioner <math>[0,1] \to\mathbb{R}</math> et vektorrum over <math>\mathbb{R}</math>.

 

 

En etpunktsmængde <math>V=\{\vec{o}\}</math> er et ''trivielt'' vektorrum (addition og multiplikation kan kun defineres på én måde). Basis for dette vektorrum er den [[tomme mængde]], <math>B=\emptyset=\{\}</math>; derfor er dimensionen af det trivielle vektorrum [[0 (tal)|0]].

 

{{matematikstub}}

 

[[ar:فضاء شعاعي]]