Alternerende gruppe: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Xqbot (diskussion | bidrag) m robot Tilføjer: ta:மாறிசைக்குலம் |
m Bot: Retter HTML-bogstaver; kosmetiske ændringer |
||
Linje 5:
== Grundlæggende egenskaber ==
For ''n'' > 1 er gruppen ''A''<sub>''n''</sub> en [[normal undergruppe]] af den [[symmetrisk gruppe|symmetriske gruppe]] ''S''<sub>''n''</sub> med [[indeks (gruppeteori)|indeks]] 2 og den har derfor [[fakultet (matematik)|''n''!]]/2 elementer. Den er [[kerne (algebra)|kernen]] af [[gruppehomomorfi]]en sgn : ''S''<sub>''n''</sub> → {1,
Gruppen ''A''<sub>''n''</sub> er [[abelsk gruppe|abelsk]] [[hvis og kun hvis]] ''n'' ≤ 3 og [[simpel gruppe|simpel]] hvis og kun hvis ''n'' = 3 eller ''n'' ≥ 5.
Linje 37:
Hvad, der er mere tydeligt, er, at ''A''<sub>3</sub> er isomorf på den [[cyklisk gruppe|cykliske gruppe]] Z<sub>3</sub>, og at ''A''<sub>1</sub> og ''A''<sub>2</sub> er isomorfe på den [[triviel gruppe|trivielle gruppe]].
== Undergupper ==
''A''<sub>4</sub> er den mindste gruppe, der demonstrerer at det modsatte af [[Lagranges sætning (gruppeteori)|Lagranges sætning]] ikke gælder generelt: Givet en gruppe, ''G'', og et naturligt tal, ''d'', der går op i |''G''|, gælder der ikke nødvendigvis at der findes en [[undergruppe]] af ''G'' med orden ''d'': Gruppen ''G'' = ''A''<sub>4</sup> har ingen undergruppe af orden 6. En undergruppe med tre elementer (genereret ved cyklisk rotation af tre objekter) med yderligere et element (pånær ''e'') genererer hele gruppen.
| |||