Wikipedia

Ækvivalensklasse: Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Gå til forrige forskelGå til næste forskel →
Content deleted Content added
VisueltWikitekst
m WikiProjekt Check Wikipedia html entity fixes ved brug af AWB
Linje 1:
En '''ækvivalensklasse''' er i [[matematik]]ken en [[mængde]] af ækvivalente objekter. Dette er selvfølgelig mht. til en given [[ækvivalensrelation]]. Lad derfor ~ være en ækvivalensrelation på en mængde ''X''. Typisk skriver man ækvivalensklasser vha. en repræsentant ''a'' ∈∈ ''X'' for klassen, så
: [''a''] := { ''b'' ∈ ''X'' | ''a'' ~ ''b'' }.
Mængden af disse ækvivalensklasser udgør en [[partition af en mængde|partition]] af ''X'', og skrives ''X''/~.
Linje 7:
Lad i resten af dette afsnit ~ være en [[ækvivalensrelation]] på en mængde ''X''.
 
'''[[Sætning (matematik)|Lemma]] 1:''' [''a''] ≠ [''b''] ⇒∈ [''a''] ∩ [''b''] = Ø for alle ''a'', ''b'' ∈∈ ''X''.▼
 
''Bevis.'' Da ~ er [[Sætning (matematik)ækvivalensrelation|Lemmarefleksiv]] 1:er ''a'' ~ ''a'', ∈og dermed må [''a''] for alle∈ [''a''] ∈per definitionen af ækvivalensklassen [''Xa''].
 
''Bevis.'Lemma 2:''' Da[''a''] ~ er= [[ækvivalensrelation|refleksiv]''b''] er⇔ ''a'' ~ ''ab'', og dermedfor måalle ''a'', ∈ [''ab''] per∈ definitionen af ækvivalensklassen [''aX''].
 
''Bevis.'' Antag først [''a''] = [''b'']. Per lemma 1 er nu ''b'' ∈∈ [''b''] = [''a''] = { ''c'' ∈∈ ''X'' | ''a'' ~ ''c'' }, så dermed må ''a'' ~ ''b''. Antag nu ''a'' ~ ''b'', og lad ''c'' ∈∈ [''a'']. Altså er ''a'' ~ ''c'', og da ~ er [[ækvivalensrelation|transitiv]] og [[ækvivalensrelation|symmetrisk]], må ''b'' ~ ''c''. Per definitonen af [''a''] må så ''c'' ∈∈ [''b''], og det er nu vist, at [''a''] ⊆⊆ [''b'']. At [''b''] ⊆⊆ [''a''] vises på helt samme måde.▼
 
'''LemmaSætning 21:''' [''a''] =≠ [''b''] ⇔⇒ [''a''] ~∩ [''b''] = Ø for alle ''a'', ''b'' ∈∈ ''X''.
 
▲''Bevis.'' Antag først [''a''] = [''b'']. Per lemma 1 er nu ''b'' ∈ [''b''] = [''a''] = { ''c'' ∈ ''X'' | ''a'' ~ ''c'' }, så dermed må ''a'' ~ ''b''. Antag nu ''a'' ~ ''b'', og lad ''c'' ∈ [''a'']. Altså er ''a'' ~ ''c'', og da ~ er [[ækvivalensrelation|transitiv]] og [[ækvivalensrelation|symmetrisk]], må ''b'' ~ ''c''. Per definitonen af [''a''] må så ''c'' ∈ [''b''], og det er nu vist, at [''a''] ⊆ [''b'']. At [''b''] ⊆ [''a''] vises på helt samme måde.
 
 
▲'''Sætning 1:''' [''a''] ≠ [''b''] ⇒ [''a''] ∩ [''b''] = Ø for alle ''a'', ''b'' ∈ ''X''.
 
''Bevis.'' Antag for modstrid, at der findes et ''c'' ∈ [''a''] ∩ [''b'']. Altså er ''a'' ~ ''c'' og ''b'' ~ ''c'', men da ~ er transitiv og symmetrisk, må ''a'' ~ ''b''. Lemma 2 siger nu, at [''a''] = [''b''], hvilket klart strider mod [''a''] ≠ [''b''].▼
 
▲''Bevis.'' Antag for modstrid, at der findes et ''c'' ∈∈ [''a''] ∩∩ [''b'']. Altså er ''a'' ~ ''c'' og ''b'' ~ ''c'', men da ~ er transitiv og symmetrisk, må ''a'' ~ ''b''. Lemma 2 siger nu, at [''a''] = [''b''], hvilket klart strider mod [''a''] ≠≠ [''b''].
 
'''Sætning 2:''' Foreningen af alle ækvivalensklasserne i ''X''/~ udgør hele ''X''.
 
''Bevis.'' Lad ''a'' være et vilkårligt element i ''X''. Nu er ''a'' indeholdt i ækvivalensklassen [''a''] per lemma 1, og dermed er ''a'' også indeholdt i foreningen af alle ækvivalensklasser.
 
 
'''Korrollar:''' Ækvivalensklasserne ''X''/~ udgør en [[partition af en mængde|partition]] af ''X''.
 
''Bevis.'' Sætning 1 og 2.
 
[[Kategori:Mængdelære]]▼
 
 
{{matematikstub}}
▲[[Kategori:Mængdelære]]
 
[[de:Äquivalenzrelation#Äquivalenzklassen]]
Hentet fra "https://da.wikipedia.org/wiki/Ækvivalensklasse"