Mangfoldighed (matematik): Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
WikiBC (diskussion | bidrag) No edit summary |
WikiBC (diskussion | bidrag) mNo edit summary |
||
Linje 4:
Eksempler på et-dimensionale mangfoldigheder er en [[linje]] og en [[cirkel]], og eksempler på mangfoldigheder af dimension to er en [[plan (matematik)|plan]] og en [[sfære]] (overfladen af en [[kugle]]). Formelt er en ''n''-dimensional '''topologisk mangfoldighed''' et rum, hvor hvert punkt har en [[omegn]], der er [[homøomorfi|homøomorf]] til en åben mængde i '''R'''<sup>''n''</sup>.
Selvom mangfoldigheder ligner euklidisk rum nær ethvert punkt ("lokalt"), kan en mangfoldigheds globale struktur være mere kompliceret. For eksempel er ethvert punkt på den to-dimensionale kugleoverflade omgivet af et område, der kan trykkes sammen til en delmængde af planen, som på et geografisk kort, men som helhed ligner kugleoverfladen ikke planen: I topologiens sprog er de to rum ikke homøomorfe, selvom de ganske vist er det lokalt. Strukturen på en mangfoldighed beskrives ved en samling af ''kort'', der danner et ''[[atlas (topologi)|atlas]]'' analogt til et atlas, der består af en samling (lokale - plane) kort over Jordens (sfæriske / krumme kugle-) overflade.
Mangfoldighedsbegrebet er centralt i mange dele af [[geometri]] og moderne [[matematisk fysik]], fordi det tillader mere komplicerede strukturer at blive udtrykt og forstået ved hjælp af simplere rum, der vil være mere velkendte. For eksempel vil en mangfoldighed oftest udstyres med en [[glat mangfoldighed|glat struktur]], der gør det muligt at lave [[differentialregning]] på rummet, og med en [[riemannsk metrik]], der gør det muligt at give mening til begreber som [[afstand]] og [[vinkel]]. Andre eksempler på mangfoldigheder med yderligere stukturer omfatter [[symplektisk mangfoldighed|symplektiske mangfoldigheder]], der fungerer som [[faserum]] i [[Hamiltonsk mekanisk|Hamiltonformalismen]] i [[klassisk mekanik]], mens fire-dimensionale [[Lorentzmangfoldighed]]er modellerer [[rumtid]]en i [[generel relativitetsteori]].
| |||