Indre (matematik): Forskelle mellem versioner

[[BilledeFil:Interior illustration.svg|right|thumb|Punktet ''x'' er et indre punkt i ''S'', da en åben kugle om punktet ligger helt inde i ''S''. Punktet ''y'' ligger på randen af ''S''.]]

* int(''S'') er en [[åben mængde|åben]] delmængde af ''S''.

* int(''S'') er foreningen af alle åbne delmængder af ''S''.

* int(''S'') er den største åbne delmængde af ''S''. Her er en mængde ''større'' end en anden, hvis den indeholder den anden.

* En mængde ''S'' er åben [[hvis og kun hvis]] ''S'' = int(''S'').

* int(int(''S'')) = int(''S'') ([[idempotent|idempotens]]).

* Hvis ''S'' er en delmængde af ''T'', er int(''S'') en delmængde af (''T'').

* Hvis ''A'' er en åben mængde, er ''A'' en delmængde af ''S'' hvis kun hvis ''A'' er en delmængde af int(''S'').

* I ethvert rum er det indre af [[den tomme mængde]] den tomme mængde. Det følger direkte af definitionen, da den tomme mængde ingen indre punkter har: Indre punkter i en mængde er specielt elementer i mængden.

* I ethvert rum ''X'' er int(''X'') indeholdt i ''X''. Dette følger ligeledes af, at indre punkter i en mængde er elementer i mængden.

* Hvis ''X'' er det euklidiske rum '''R''' af [[reelle tal]], er det indre af det [[Interval (matematik)|lukkede enhedsinterval]] det åbne enhedsinterval; int([0,1]) = (0,1). Dette følger af den ovenfor givne definition: Hvis ''x'' er et punkt i (0,1), vil kuglen (intervallet) med radius min(''x'',1 − ''x'') om ''x'' være helt indeholdt i [0,1], hvilket betyder, at ''x'' er et indre punkt. Hvis omvendt ''x'' er lig 0 eller 1, vil en hvilken som helst kugle om ''x'' indeholde punkter, der ligger uden for intervallet. De indre punkter i [0,1] er altså præcis elementerne i (0,1).

* Hvis ''X'' er '''R''', er det indre af mængden '''Q''' af [[rationale tal]] den tomme mængde: Ingen rationale tal kan være indre punkter, da der i en vilkårlig kugle om et rationalt tal vil eksistere tal, som ikke er rationale.

[[BilledeFil:Indre illustration.svg|thumb|250px|Illustration af eksemplet.]]

* Hvis ''X'' er '''R'''²² og <math>S = \{x\in \mathbb{R}^2 : \lVert x \rVert \geq 1\}</math>, er <math>\mbox{int}(S) = \{x\in \mathbb{R}^2 : \lVert x \rVert > 1\}</math>; her betegner || ⋅ || [[norm (matematik)|normen]] i '''R'''²². Se illustrationen til højre. Givet et punkt ''x'' med || ''x'' || > 1, vil kuglen med radius || ''x'' || − 1 og centrum ''x'' være helt indeholdt i ''S''. Hvis omvendt ''y'' er et punkt med || ''y'' || = 1, vil en hvilken som helst kugle med centrum ''y'' indeholde punkter med norm skarpt mindre end 1 og altså indeholde punkter, som ikke ligger i ''S''.

* I et hvilket som helst euklidisk rum '''R'''^''n'' er det indre af en [[endelig mængde]] den tomme mængde. Dette skyldes, at en kugle med centrum i et af den endelige mængdes elementer vil indeholde uendeligt mange punkter fra '''R'''^''n'' og dermed nødvendigvis punkter, der ikke ligger i den endelige mængde.

* Hvis '''R''' betragtes med den [[diskret topologi|diskrete topologi]], hvor alle mængder er åbne, gælder int([0,1]) = [0,1]. Dette er et resultat af, at den i definitionen af et indre punkt krævede omegn af et givet punkt kan vælges til at være etpunktsmængden bestående af punktet selv.

* Hvis '''R''' udstyres med den [[triviel topologi|trivielle topologi]] hvor de eneste åbne mængder er den tomme mængde og '''R''' selv, vil int([0,1]) være den tomme mængde: Den eneste omegn af et givet punkt er hele '''R''', som indeholder punkter, der ikke ligger i [0,1].

* I et topologisk rum med den diskrete topologi vil enhver mængde pr. definition være åben og lig sit indre.

* I et topologisk rum ''X'' med den trivielle topologi er int(''X'') = ''X'' og enhver [[delmængde|ægte delmængde]] har tomt indre.

* ext(''S'') er en åben mængde, der snitter tomt med ''S''.

* ext(''S'') er foreningen af alle åbne mængder, der snitter tomt med ''S''.

* ext(''S'') er den største åbne delmængde der snitter tomt med ''S''.

* Hvis ''S'' er en delmængde af ''T'', vil ext(''S'') indeholde ext(''T'').

* ext(ext(''S'')) indeholder int(''S'').