Hilbertrum: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m Bot: Link GA +en |
m Flertydige WL: funktion → funktion (matematik) |
||
Linje 1:
Det [[matematik|matematiske]] begreb '''Hilbertrum''', som er opkaldt efter den tyske [[matematiker]] [[David Hilbert]], er en generalisering af [[euklidisk rum]] på en måde, der udvider de vektoralgebraiske metoder fra den todimensionale plan eller det tredimensionale rum til uendeligtdimensionale rum. Mere formelt er et Hilbertrum et [[indre produkt-rum]] – et abstrakt [[vektorrum]] i hvilket det har mening at måle afstande og vinkler – som også er "[[fuldstændigt metrisk rum|fuldstændigt]]", hvilket vil sige, at hvis en [[følge]] af [[vektor]]er går mod en [[grænseværdi (matematik)|grænse]], er det garanteret, at grænseværdien også ligger i rummet.
Hilbertrum optræder naturligt og ofte i både [[matematik]], [[fysik]] og [[ingeniørvidenskab]]; typisk som uendeligtdimensionale [[funktionsrum]] – rum hvor elementerne er [[funktion (matematik)|funktion]]er. De er uundværlige værktøjer i teorierne om [[partiel differentialligning|partielle differentialligninger]], [[kvantemekanik]] og [[signalbehandling]]. Opdagelsen af de fælles algebraiske strukturer i disse forskellige områder gav anledning til en større konceptuel forståelse, og de tilknyttede metoders succes var særdeles udbytterigt for [[funktionalanalyse]]n.
Geometrisk intuition spiller en vigtig rolle i mange aspekter af Hilbertrumteori. Et element i et Hilbertrum er entydigt givet ved dets koordinater med hensyn til en [[ortonormalbasis]], i analogi med kartesiske koordinater i planen. Dette betyder, at Hilbertrummet også med fordel kan betragtes som [[uendelig følge|uendelige følger]], der er [[Lp (matematik)|kvadratisk summable]]. [[Lineær operator|Lineære operatorer]] på et Hilbertrum er ligeledes forholdsvis konkrete objekter: I pæne tilfælde er de blot transformationer, der strækker rummet med forskellige faktorer i vinkelrette retninger.
| |||