Tredjegradsligning: Forskelle mellem versioner

En '''tredjegradsligning''' er en [[polynomium]]sligning i hvilket den højeste eksisterende potens af den ukendteubekendte ''x'' er den tredje potens. En eksempel er ligningen

At løse en tredjegradsligning svarer til at finde [[rod|rødderne]] af enet [[tredjegradspolynomium]].

HverHvert tredjegradspolynomium har mindst enén løsning ''x'' blandt de reelle tal. Følgende kvalitetsmæssigt forskellige tilfælde er mulige:

* Tre forskellige reelle løsningeløsninger

* To reelle løsningeløsninger, en som er dobbeltløsning

* En enkelt reellereell løsning, som er en trippelløsning

* En enkelt reellereell løsning og et par af [[kompleks conjugeredekonjugerede]] løsninger som er [[komplekst tal|komplekse tal]]

Substitutionen ''x'' = ''t'' - ''a''/3 fjerner andengradsdelenandengradsleddet, og vi får en tredjegradsligning af formen

løs den anden ligning for ''v'', sæt ind i den første ligning, løs den resulterende [[andengradsligning]] for ''u''³, derefter tage kubikroden for at finde ''u''. I nogle tilfælde vil andengradsligningen give [[komplekst tal|komplekse]] løsninger, selv da mindst én sådan løsning ''t'' af (1) vil være reeltreel. Det var allerede bemærket af Cardano og er en stærk argument for nyttighedennytten (hvis ikke eksistensen) af komplekse tal.

Hvis kvadratroddenkvadratroden er af et negativt tal, så vil kubikroden være af et komplekst tal. En måde at tage kubikrodden af et komplekst tal er at oversætte det komplekse tal til [[polære koordinater]] med vinklen 0 langs den positive reelle akse, dividere vinklen med 3, og tage kubikroddenkubikroden af modulussetmodulus. Der er måske en nemmere måde.

Bemærk at ved finding af ''u'', var der 6 muligheder, da der er to løsninger til kvadratrodden og tre komplekse løsninger til kubikrodden. Men, den løsning man vælger til kvadratroddenkvadratroden påvirker ikke den endelige resulterende ''x''.