Lineær funktion: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
No edit summary |
EPO (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved JAnDbot, fjerner ændringer fra 85.81.68.51 (diskussion | bidrag) |
||
Linje 1:
I [[matematik]]ken er en '''lineær transformation''' (også kaldet en '''lineær afbildning''' eller en '''lineær operator''') en [[funktion (matematik)|funktion]] mellem to [[vektorrum]], der bevarer vektoraddition og [[skalar]]multiplikation. Med andre ord bevarer den [[linearkombination]]er.
I [[abstrakt algebra]] er en lineær transformation en [[homomorfi]] af vektorrum.
==Definition og første følger==
Hvis ''V'' og ''W'' er vektorrum over det samme [[legeme (matematik)|legeme]] ''K'', siges ''f'' : ''V'' → ''W'' at være en lineær transformation, hvis der for alle vektorer ''x'' og ''y'' i ''V'' og alle skalarer ''a'' i ''K'' gælder, at
:<math>f(x+y)=f(x)+f(y) \,</math>
:<math>f(ax)=af(x) \,.</math>
Dette er ækvivalent med at sige, at ''f'' bevarer linearkombinationer, hvilket vil sige, at der for alle vektorer ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''m''</sub> i ''V'' og skalarer ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''m''</sub> i ''K'' gælder, at
:<math>f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m).</math>
Det hænder, at ''V'' og ''W'' betragtes som vektorrum over forskellige legemer. Da er det normalt at specificere hvilket af disse legemer, der brugtes til at definere, at transformationen var lineær. Hvis ''V'' og ''W'' betragtes som ''K''-vektorrum som ovenfor, taler man typisk om ''K''-lineære afbildninger. Eksempelvis er konjugeringen af [[komplekse tal]] en '''R'''-lineær afbildning '''C''' → '''C''', men den er ikke '''C'''-lineær.
Det følger af definitionen, at ''f''(0) = 0, hvorfor lineære transformationer til tider kaldes '''homogene lineære transformationer'''.
== Eksempler ==
* Hvis ''A'' er en ''m'' × ''n''-[[matrix]] over '''R''', definerer ''A'' en lineær transformation fra '''R'''<sup>''n''</sup> til '''R'''<sup>''m''</sup> ved at sende [[søjlevektor]]en ''x'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> i søjlevektoren ''Ax'' ∈ '''R'''<sup>''m''</sup>. Enhver lineartransformation mellem endeligdimensionale vektorrum opstår således.
* [[Integralregning|Integralet]] danner en lineær afbildning fra rummet af alle reelle integrable funktioner defineret på et vilkårligt [[interval (matematik)|interval]] til '''R'''.
* [[Differentialregning|Differentiation]] er en lineær transformation fra rummet af alle differentiable funktioner til rummet af alle funktioner.
[[Kategori:Lineær algebra]]
[[cs:Lineární zobrazení]]
[[de:Lineare Abbildung]]
[[el:Γραμμικός μετασχηματισμός]]
[[en:Linear map]]
[[eo:Lineara bildigo]]
[[fi:Lineaarimuunnos]]
[[fr:Application linéaire]]
[[he:העתקה לינארית]]
[[hu:Lineáris leképezés]]
[[is:Línuleg vörpun]]
[[it:Trasformazione lineare]]
[[ja:線型写像]]
[[ko:선형변환]]
[[nl:Lineaire transformatie]]
[[no:Lineær transformasjon]]
[[pl:Przekształcenie liniowe]]
[[pt:Transformação linear]]
[[ro:Transformare liniară]]
[[ru:Линейное отображение]]
[[sl:Linearna transformacija]]
[[sr:Линеарно пресликавање]]
[[sv:Linjär avbildning]]
[[ta:நேரியல் கோப்பு]]
[[uk:Лінійне відображення]]
[[ur:لکیری استحالہ]]
[[vi:Biến đổi tuyến tính]]
[[zh:线性映射]]
| |||