Sigma-algebra: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Xqbot (diskussion | bidrag) m robot Ændrer: sk:Sigma-algebra |
|||
Linje 6:
== Definition og egenskaber ==
# <math>X \in \Sigma</math>
# <math>E \in \Sigma</math> <math> \Rightarrow </math> <math>E^c \in \Sigma</math>
# <math>A_1, A_2, A_3, ... \in \Sigma</math> <math> \Rightarrow </math> <math> \cup_{n=1}^{\infty}A_n \in \Sigma </math>
Med andre ord:
Med andre ord er en familie Σ af delmængder af ''X'' en σ-algebra, hvis▼
# Σ indeholder ''X'' (eller, Σ indeholder [[den tomme mængde]]).▼
# Σ er lukket under komplementdannelse.▼
# Σ er lukket under tællelig forening.▼
Det følger direkte fra disse aksiomer, at ''X'' og den tomme mængde er elementer i Σ, og, fra [[De Morgans love]], at en σ-algebra også er lukket under tællelig [[fællesmængde]]dannelse.▼
▲Det følger direkte fra disse aksiomer, at ''X'' og den tomme mængde er elementer i Σ, og, fra [[
Elementerne i en σ-algebra kaldes '''målelige mængder''', og et ordnet par (''X'', Σ), hvor ''X'' er en mængde, og Σ er en σ-algebra over ''X'', kaldes et '''måleligt rum'''. Et [[mål (matematik)|mål]] på (''X'', Σ) er en funktion, der (på passende vis – se artiklen om målet) tillægger hver mængde i Σ en værdi [0,∞], og kan tolkes som et forsøg på at give mening til begrebet 'størrelse' eller 'volumen' af mængder. Man kunne måske ønske at forsyne enhver delmængde af ''X'' med en størrelse, men [[udvalgsaksiomet]] medfører, at hvis størrelsen der betragtes er standardlængden af intervaller (så intervallet [''a'',''b''] har mål ''b'' − ''a''), findes mængder, kaldet [[Vitalis mængder]], for hvilke målet ikke kan defineres. Af denne grund betragtes i stedet kun samlingen af delmængder af ''X'', hvor målet er defineret, og disse mængder udgør σ-algebraen.
|