Ellipse (geometri): Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
KnudW (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved Luckas-bot, fjerner ændringer fra 87.56.179.243 (diskussion | bidrag) |
|||
Linje 5:
Ophavsmanden til betegnelsen ellipse er [[Apollonius]].
== Linjer og punkter i og omkring en ellipse ==
[[Fil:Linjer_og_punkter_ved_ellipsen.jpg|292px|right|Linjer og punkteri og omkring en ellipse. De nummererede detaljer er forklaret i teksten.]]
Visse linjer og punkter spiller en særlig rolle for ellipsen, og har således fået entydige navne:
# Brændpunkter: Disse kan siges at være for ellipsen, hvad centrum er for en cirkel.
# Brændstråler: Linjer fra brændpunkterne (1) til et vilkårligt punkt på ellipsen. Uanset hvilket punkt på ellipsen man vælger, vil summen af brændstrålernes længder være lig med storaksens (5) længde.
# Lilleaksen: Spænder over ellipsen midt mellem brændpunkterne, vinkelret på storaksen.
# Parameter: Det linjestykke der skærer storaksen (5) vinkelret gennem et af brændpunkterne (1), og afgrænses af ellipsekurven.
# Storaksen: Spænder over ellipsen på det sted hvor den er bredest, og afgrænses af de to toppunkter (7)
# Tangent: En linje der netop berører ellipsen i ét punkt. Tangenten halverer den udvendige vinkel mellem brændstrålerne i tangentens røringspunkt.
# Toppunkter: Markerer enderne af storaksen, samt de punkter på ellipsen hvor krumningen er størst.
== Ligninger og beregninger for en ellipse ==
I beregninger og [[ligning]]er vedrørende ellipser bruger man ofte tallene <math>a</math> og <math>b</math> for hhv. halvdelen af storaksens og lilleaksens længde. Således gælder bl.a. at ellipsens areal <math>A</math> er givet ved:<br />
<math>A = \pi \cdot a \cdot b</math>
Længden <math>p</math> af parameteren (nr. 4 på tegningen) er givet ved:<br />
<math>p = 2 \cdot \frac{b^2}{a}</math>
=== Excentricitet ===
For enhver ellipse kan man fastslå en størrelse <math>e</math> kaldet ellipsens ''excentricitet'': Den er lig med afstanden mellem brændpunkterne divideret med hele storaksens længde. Excentriciteten er for en ellipse altid mellem 0 og 1, hvor 0 svarer til en cirkel, mens værdier nær ved 1 svarer til meget smalle og langstrakte ellipser.
Man kan også beregne excentriciteten ud fra den halve stor- og lilleakse som:<br />
<math>e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>
=== Ellipser i et koordinatsystem ===
Hvis en ellipse indtegnes i et koordinatsystem sådan at ellipsens akser er parallelle med koordinatsystemets akser, kan man opstille ligninger der tilfredsstilles af koordinaterne til punkter <math>(x,y)</math> på ellipsekurven:
Hvis ellipseakserne falder sammen med koordinatsystemets akser gælder:<br />
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math><br />
hvor <math>a</math> og <math>b</math> er halvdelen af hhv. stor- og lilleaksens længde.
Man kan beskrive samme ellipse ud fra den halve storakse <math>a</math> og excentriciteten <math>e</math> som:
<math>y^2 = (1-e^2) \cdot (a^2-x^2)</math>
For en ellipse hvis akser er parallelle med koordinatsystemets akser, men hvor ellipseakserne skærer hinanden i et punkt <math>(x_0,y_0)</math>, gælder:<br />
<math>\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1</math>
De fire konstanter for en ellipse (den halve storakses længde <math>a</math>, den halve lilleakses længde <math>b</math>, excentriciteten <math>e</math> og parameterens længde <math>p</math>) kan sammenfattes i ellipsens såkaldte ''konstantligning'':<br />
<math>1 - e^2 = \frac{b^2}{a^2} = \frac{p}{2 \cdot a}</math>
== Ellipsen i fysikken ==
| |||