Wikipedia

Norm (matematik): Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Gå til forrige forskelGå til næste forskel →
Content deleted Content added
VisueltWikitekst
Esmil (diskussion | bidrag)
111 edits
Indført en lidt mere stringent definition af en norm. Håber ikke det forvirrer for meget
Esmil (diskussion | bidrag)
111 edits
Forsøgt at strukturere artiklen lidt. Håber det virker...
Linje 1:
{{harflertydig2|Norm}}
 
Begrebet '''norm''' er i [[matematik]]ken en generalisering af det almindelige begreb [[længde]]. En norm er generelt et mål for størrelsen/længden af en [[vektor]] i et reelt eller komplekst [[vektorrum]]. Fælles for alle normer er at de karakteriserer det matematiske objekt med en enkelt positiv [[skalar]] (et [[tal]]), der kan anvendes til sammenligning med normen af andre vektorer af samme type. Med andre ord er en norm en funktion fra et reelt eller komplekst vektorrum <math>V</math> over i de positive (inklusiv 0) [[reelle tal]] <math>\mathbb{R}_+</math>. Altså <math>f\colon V\to\mathbb{R}_+</math>. Dog skrives normen typisk <math>\Vert\vec{v}\Vert = f(\vec{v})</math>.
 
==Definition==
For en tredimensional vektor <math>\vec{v} =(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3</math> svarer den mest almindelige norm▼
En '''norm''' er en funktion ''f'':''V'' &rarr; '''R'''<sub>+</sub> fra et reelt eller komplekst vektorrum ''V'' over i de positive (inklusiv 0) [[reelle tal]], der opfylder følgende tre egenskaber. Dog bruger man oftest notationen ||'''v'''|| for funktionsværdien ''f''('''v''') (eller man skriver blot, at en norm er en funktion || &sdot; ||:''V'' &rarr; '''R'''<sub>+</sub>). En norm på et reelt hhv. komplekst vektorrum ''V'' skal under alle omstænder opfylde disse tre betingelser:
<math>\left\Vert \vec{v} \right\Vert</math> (evt. <math>\left\Vert \vec{v} \right\Vert_2</math>) til længden i almindelig forstand. Dette kaldes også den '''euklidiske norm''':
# ||''a'''''v'''|| = |''a''| ||'''v'''|| for alle vektorer '''v''' &isin; ''V'' og ''a'' &isin; '''R''' hhv. ''a'' &isin; '''C'''.
: <math>\left\Vert \vec{v} \right\Vert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}</math>▼
# ||'''v'''|| = 0 &hArr; '''v''' = 0 for alle '''v''' &isin; ''V''.
For en [[skalar]] (altså i det endimensionelle tilfælde) er normen det samme som absolut-værdien. Fx.▼
# ||'''v''' + '''w'''|| &le; ||'''v'''|| + ||'''w'''|| for alle '''v''', '''w''' &isin; ''V''.
: <math>\Vert -3 \Vert = |-3| = 3</math>.▼
Sidste betingelse går også under navnet [[trekantsuligheden]]. Et vektorrum med en norm kaldes et [[normeret vektorrum]].▼
Generaliseringen af denne norm til <math>\mathbb{R}^k</math> er
: <math>\Vert\vec{v}\Vert = \Vert\vec{v}\Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^k v_i^2}</math>,▼
og mere generelt
: <math>\Vert\vec{v}\Vert_n = \sqrt[n]{\sum_{i=1}^k v_i^n}</math>.▼
 
==Eksempler==
To specialtilfælde af denne er værd at bemærke: For <math>n=1</math> får man▼
===Den euklidiske norm===
Den mest kendte norm kaldes også den '''euklidiske norm''' og det, man normalt forbinder med længden af en vektor i de "almindelige" vektorrum <math>\mathbb{R}^2</math> og <math>\mathbb{R}^3</math>. For en vektor <math>\vec{v} = (x, y)</math> i planet <math>\mathbb{R}^2</math> er den euklidiske norm defineret ved
▲: <math>\Vert -3 \vec{v}\Vert = |-3|\sqrt{x^2 =+ 3y^2}</math>.,
▲Forfor en tredimensionaltredimensionel vektor <math>\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\in\mathbb{R}^3</math> svarerer den mest almindeligedefineret normved
▲: <math>\left\Vert \vec{v} \right\Vert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}</math>,
▲Forog for en [[skalar]] (altså i det endimensionelle tilfælde) erfalder normendenne detnorm sammesammen sommed absolut-værdien. Fx. <math>\Vert -3 \Vert = \sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3</math>.
 
===''n''-normer på '''R'''<sup>''k''</sup>===
Den euklidiske norm kan på samme måde generaliseres til højere dimensioner. For en vektor <math>\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_k)\in\mathbb{R}^k</math> er den euklidiske norm således defineret ved
▲: <math>\Vert\vec{v}\Vert = \Vert\vec{v}\Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^k v_i^2}</math>,.
Faktisk har man en hel familie af normer på <math>\mathbb{R}^k</math> defineret ved
▲: <math>\Vert\vec{v}\Vert_n = \sqrt[n]{\sum_{i=1}^k v_i^n}</math>.
▲Derfor kalder under tiden den euklidiske norm for 2-normen. To specialtilfælde af denne er værd at bemærke: For <math>n=1</math> får man
: <math>\Vert\vec{v}\Vert_1 = |\sum_{i=1}^k v_i|</math>
&mdash; dvs. 1-normen er den absolutte værdi af summen af vektorkoordinaterne. Det andet specialtilfælde er grænseværdien for <math>n \rightarrow \infty</math>. Her dominerer den største af vektorkomponenterne, dvs.
: <math>\Vert\vec{v}\Vert_\infty = \max\{v_i\,|\,1\leq i\leq k\}</math>
 
De ovenfor beskrevne normer er langtfra de eneste; forskellige normer passer til forskellige problemer. Dog skal alle normfunktioner <math>\Vert\cdot\Vert\colon V\to\mathbb{R}_+</math> på et reelt hhv. komplekst vektorrum <math>V</math> opfylde:
# <math>\Vert a\vec{v}\Vert = |a|\Vert\vec{v}\Vert</math> for alle <math>\vec{v}\in V</math> og <math>a\in\mathbb{R}</math> hhv. <math>a\in\mathbb{C}</math>.
# <math>\Vert\vec{v}\Vert = 0 \Leftrightarrow \vec{v} = 0</math> for alle <math>\vec{v}\in V</math>.
# <math>\Vert\vec{v} + \vec{w}\Vert \leq \Vert\vec{v}\Vert + \Vert\vec{u}\Vert</math> for alle <math>\vec{v},\vec{w}\in V</math>.
Den sidste betingelse går også under navnet [[trekantsuligheden]].
 
▲Et vektorrum med en norm kaldes et [[normeret vektorrum]].
 
== Se også ==
Hentet fra "https://da.wikipedia.org/wiki/Norm_(matematik)"