Polynomium: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
RedBot (diskussion | bidrag) m r2.7.2) (Robot tilføjer zh-classical:多項式 |
Madglad (diskussion | bidrag) Matematisk opstramning |
||
Linje 3:
== Polynomiets forskrift ==
Forskriften for et polynomium er en sum af såkaldte ''led'', typisk skrevet sorteret efter faldende potens af ''x'':
:<math>p(x) = k_n \cdot x^n + k_{n-1} \cdot x^{n-1} + k_{n-2} \cdot x^{n-2} + \ldots + k_3 \cdot x^3 + k_2 \cdot x^2 + k_1 \cdot x + k_0</math>
Som antydet består
Tallene <math>k_n</math>, <math>k_{n-1}</math>, <math>k_{n-2}</math> osv., til og med <math>k_1</math> kaldes for ''koefficienter'', mens <math>k_0</math> omtales som ''konstantleddet''. Så længe [[koefficient]]en til ''højestegrads-leddet'' (dvs. det led hvori <math>x</math> er opløftet til den højeste potens, i dette tilfælde <math>k_n</math>) er forskellig fra 0, kalder man polynomiet for et ''n'te-grads polynomium'' – de andre koefficienter og konstantleddet kan være
== Polynomiets rødder ==
For et givent polynomium af ''n''<nowiki>'</nowiki>te grad vil der være ''n'' værdier for ''x'', som giver ''p''(''x'') = 0
For polynomiumsligninger over de rationale ligger samtlige rødder enten i de rationale tals legeme (i så fald kaldes polynomiet faktoriserbart) eller i et udvidelseslegeme til de rationale tals legeme. Fx har ligningen <math>x^2 - 2 = 0</math> sine rødder i legemet <math>Q[\sqrt{2}]</math>, hvilket er de rationale tals legeme udvidet med alle de tal, der kan frembringes ved aritmetiske oprationer mellem rationale tal og <math>\sqrt{2}</math>. Dette legeme er et underlegeme til [[Algebraiske tal|de algebraiske tals legeme]].
For polynomiumsligninger over [[Reelle tal|de reelle tals legeme]] kan nogle eller evt. samtlige rødder være reelle tal - resten vil være [[komplekse tal]].
Det kan forekomme at to eller flere rødder har samme værdi: Sådan en rod kaldes for en ''dobbeltrod'', eller for den sags skyld en ''n-dobbelt rod'' for <math>n > 2</math>.
Hvis et polynomium har rødderne <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> ... <math>x_n</math>, kan polynomiets forskrift skrives på denne form:
:<math>p(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3) \cdot \ldots \cdot (x - x_0)</math>
Dette kaldes polynomiets faktorisering. Hvis ''x'' er lig med én af rødderne, bliver én af parenteserne i ovenstående produkt lig med nul, og hele polynomiet bliver lig nul. Produktet af de øvrige parenteser vil så danne et nyt polynomium, som indeholder alle de andre mulige rødder.<br />
Hvis man kan finde én rod ''x''<sub>1</sub> i et polynomium, kan man derfor "dividere" polynomiets forskrift med ''x'' - ''x''<sub>1</sub> og derved få et nyt polynomium som er en grad mindre end det oprindelige polynomium. Det nye polynomier vil have de samme rødder som det oprindelige polynomium, med
== Se også ==
| |||