Forskel mellem versioner af "Mangfoldighed (matematik)"

m
Retter tankestreger – burde ignorere [[ ]], {{ }} og <math> samt <gallery>; kosmetiske ændringer
m (r2.7.1) (Robot tilføjer no:Mangfoldighet)
m (Retter tankestreger – burde ignorere [[ ]], {{ }} og <math> samt <gallery>; kosmetiske ændringer)
[[ImageFil:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|300px|[[Sfære]]n (overfladen på en [[kugle]]) er en to-dimensional mangfoldighed, da den kan beskrives med en samling af to-dimensionale kort.]]
 
I [[matematik]], eller mere præcist i [[differentialgeometri]] og [[topologi]], er en '''mangfoldighed''' et [[topologisk rum|matematisk rum]], der på en lille nok skala ligner [[euklidisk rum]] af en bestemt [[dimension]], der kaldes mangfoldighedens dimension.
Eksempler på et-dimensionale mangfoldigheder er en [[linje]] og en [[cirkel]], og eksempler på mangfoldigheder af dimension to er en [[plan (matematik)|plan]] og en [[sfære]] (overfladen af en [[kugle]]). Formelt er en ''n''-dimensional '''topologisk mangfoldighed''' et rum, hvor hvert punkt har en [[omegn]], der er [[homøomorfi|homøomorf]] til en åben mængde i '''R'''<sup>''n''</sup>.
 
Selvom mangfoldigheder ligner euklidisk rum nær ethvert punkt ("lokalt"), kan en mangfoldigheds globale struktur være mere kompliceret. For eksempel er ethvert punkt på den to-dimensionale kugleoverflade omgivet af et område, der kan trykkes sammen til en delmængde af planen, som på et geografisk kort, men som helhed ligner kugleoverfladen ikke planen: I topologiens sprog er de to rum ikke homøomorfe, selvom de ganske vist er det lokalt. Strukturen på en mangfoldighed beskrives ved en samling af ''kort'', der danner et ''[[atlas (topologi)|atlas]]'' analogt til et atlas, der består af en samling (lokale - plane) kort over Jordens (sfæriske / krumme kugle-) overflade.
 
Mangfoldighedsbegrebet er centralt i mange dele af [[geometri]] og moderne [[matematisk fysik]], fordi det tillader mere komplicerede strukturer at blive udtrykt og forstået ved hjælp af simplere rum, der vil være mere velkendte. For eksempel vil en mangfoldighed oftest udstyres med en [[glat mangfoldighed|glat struktur]], der gør det muligt at lave [[differentialregning]] på rummet, og med en [[riemannsk metrik]], der gør det muligt at give mening til begreber som [[afstand]] og [[vinkel]]. Andre eksempler på mangfoldigheder med yderligere stukturer omfatter [[symplektisk mangfoldighed|symplektiske mangfoldigheder]], der fungerer som [[faserum]] i [[Hamiltonsk mekanisk|Hamiltonformalismen]] i [[klassisk mekanik]], mens fire-dimensionale [[Lorentzmangfoldighed]]er modellerer [[rumtid]]en i [[generel relativitetsteori]].
[[Skema (matematik)|Skemateoretisk]] er en mangfoldighed et [[lokalt beringet rum]], hvis strukturknippe er lokalt isomorft til knippet af kontinuerte (eller differentiable, holomorfe osv.) funktioner på euklidisk rum. Denne definition benyttes primært til beskrivelsen af [[analytisk mangfoldighed|analytiske mangfoldigheder]] i [[algebraisk geometri]].
 
Mangfoldighedsbegrebet benyttes af og til i en mere generel kontekst. Den mest generelle definition på en mangfoldighed i almen brug er et topologisk rum lokalt homøomorft til et [[topologisk vektorrum]] over de [[reelle tal]]. Denne definition udelader punktmængdeaksiomerne og tillader højere kardinaliteter samt rum, der ikke er Hausdorff. Ydermere er der intet krav om, at mangfoldighedens dimension er endelig, og man ledes til at betragte strukturer som på [[Hilbertmangfoldighed]]er, der modelleres på [[Hilbertrum]], [[Banachmangfoldighed]]er, der modelleres på [[Banachrum]] og [[Fréchetmangfoldighed]]er, der modelleres på [[Fréchetrum]].
 
[[Kategori:Geometrisk topologi]]
[[Kategori:Differentialgeometri]]
 
{{Link FA|fr}}
{{Link GA|zh}}
 
{{Link FA|fr}}
 
[[ar:متعدد شعب]]
242.767

redigeringer