Polynomium: Forskelle mellem versioner

For polynomiumsligninger over de rationale tals legeme ligger samtlige rødder enten i de rationale tals legeme (i så fald kaldes polynomiet faktoriserbart over de rationale tals legeme) eller i et udvidelseslegeme til de rationale tals legeme. Fx har ligningen <math>x^2 - 2 = 0</math> sine rødder i legemet <math>Q[\sqrt{2}]</math>, hvilket er de rationale tals legeme udvidet med alle de tal, der kan frembringes ved aritmetiske oprationer mellem rationale tal og <math>\sqrt{2}</math>. Dette legeme er et underlegeme til [[Algebraiske tal|de algebraiske tals legeme]].

 

 

Det kan forekomme at to eller flere rødder har samme værdi: Sådan en rod kaldes for en ''dobbeltrod'', eller for den sags skyld en ''n-dobbelt rod'' for <math>n > 2</math>.

 

Dette kaldes polynomiets faktorisering. Hvis ''x'' er lig med én af rødderne, bliver én af parenteserne i ovenstående produkt lig med nul, og hele polynomiet bliver lig nul. Produktet af de øvrige parenteser vil så danne et nyt polynomium, som indeholder alle de andre mulige rødder.<br />

 

Studiet af om rødderne for givne polynomiumsligninger over et givet legeme (typisk de rationale tal) kan skrives ved [[rodtegn]] kaldes [[Galois-teori]].