Ellipsoide: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Ultraman (diskussion | bidrag) m Indsætter overskrifter for overskueliggørelse |
Hofkas (diskussion | bidrag) Udvidelse af artikel |
||
Linje 1:
En '''ellipsoide''' er en lukket flade i et 3-dimmensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D analogi til [[ellipse]]n, på samme måde som [[kugle]]n er det for en [[cirkel]].▼
==Beskrivelse==
[[File:Ellipsoid tri-axial abc.svg|thumb|200px|Tri-aksial ellipsoide med forskellige halv-akser ''a'', ''b'' og ''c'']]
[[File:Ellipsoid revolution prolate and oblate aac.svg|thumb|200px|Omdrejnings-ellipsoide ([[sfæroide]]) med to ens halv-akser (''a'') og en tredie halv-akse (''c'') som også er symmetriaksen. Ellipsoiden er oblat hvis ''c'' er mindre end ''a'', og prolat hvis ''c'' større end ''a''.]]
▲En '''ellipsoide''' er en lukket flade i et 3-dimmensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D analogi til [[ellipse]]n, på samme måde som [[kugle]]n er det for en [[cirkel]].
Standardligningen for en ellipsoide centeret i [[origo]] af et [[Kartesisk koordinatsystem]] er:
:<math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1</math>
Hvor ''a'', ''b'', ''c'' er længden af de tre halv-akser målt på hhv. ''x''-, ''y''- og ''z''-aksen.
===Undertyper===
Man kan underinddele ellipsoiden i fire forskellige tilfælde på baggrund af halv-aksernes indbyrdes længde:
*<math>a>b>c</math> — '''tri-aksial''' ellipsoide
Line 12 ⟶ 14:
*<math>a=b<c</math> — '''prolat''' omdrejningsellipsoide ([[prolat sfæroide]])
*<math>a=b=c</math> — trivial tilfældet, en '''kugle'''
==Benævnelser==▼
▲===Benævnelser===
Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.
Line 21 ⟶ 25:
Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).
===Rumfang===
[[Rumfang]]et (''V'') af en ellipsoide er givet ved formlen:
::<math> V= \frac{4}{3}\pi abc</math>
Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.
==Eksempler på ellipsoidelignende figurer i den virkelige verden==
* Prolat-lignende: Bolden i [[rugby]] og [[amerikansk fodbold]].
* Oblat-lignende: [[Grapefrugt]], klassisk afrundet [[tablet|pille]], [[planet]]er (herunder [[Jorden]]) samt de fleste [[dværgplaneter]].
* Triaksial-lignende: Dværgplaneten [[Haumea (dværgplanet)|Haumea]], der roterer så hurtigt at den formentlig antager en triaksial ellipsoide form.
==Ellipsoider i Kartografi==
Til brug for udtegning af (land)kort, opmåles punkter på jorden. Disse punkter koordinatsættes på en oblat-omdrejningsellipsoide der er nærmere specificeret via en [[terrestisk referenceramme]] og som enten tilnærmer Jordens form lokalt eller globalt. Herefter kan man fremstille kort i et utal af projektioner til forskellige formål.
Der har historisk været benyttet mange forskellige ellipsoider. Nedenfor er en tabel<ref>J.P.Snyder: Map Projections – A Working Manual, USGS Professional Paper 1395, US Dep. of Interior; Washington; 1987</ref> over de mest udbredte. (Værdier med fed skrift er eksakte, resten er afrundede – typisk afledte fra andre enheder)
{| class="wikitable sortable"
|-
! Ellipsoide !! Officielt navn !! Dato !! Ækvatorialradius, km !! Polradius, km !! Fladtrykthed ''f'' !! Gyldigheds område
|-
| [[:en:GRS 80|GRS80]] || Geodetic Reference System 1980 || 1980 || '''6378,137''' || 6356,752314140 || 1/298,257222101 || Global (benyttes af [[:en:IERS|IERS]] og i officiel dansk kortlægning)
|-
| [[:en:World Geodetic System|WGS84]] || World Geodetic System 1984 || 1984 || '''6378,137''' || 6356,752314245 || '''1/298,257223563''' || Global (benyttes af GPS)
|-
| [[Australian]] || || 1965 || '''6378,160''' || 6356,7747 || '''1/298,25''' || Australien
|-
| [[:en:Feodosy Krasovsky|Krasovsky]] || || 1940 || '''6378,245''' || 6356,8630 || '''1/298,3''' || [[Sovjetunionen]] (Rusland) og Østeuropa
|-
| [[:en:Hayford_ellipsoid|Internat'l]] || International1924 el. Hayford1909 || 1924 || '''6378,388''' || 6356,9119 || '''1/297''' || Resten af verden (herunder Nordeuropa)
|-
| [[Clarke80]] || Clarke 1880 || 1880 || 6378,2491 || 6356,5149 || 1/293,46 || Det meste af Afrika, samt Frankrig
|-
| [[:en:North American Datum|Clarke66]] || Clarke 1866 || 1866 || '''6378,2064''' || '''6356,5838''' || 1/294,98 || Nordamerika, Fillipinerne
|-
| [[:en:Ordnance Survey National Grid|Airy]] || || 1830 || 6377,5634 || 6356,2569 || 1/299,32 || Storbritannien
|-
| [[:en:Bessel ellipsoid|Bessel]] || || 1841 || 6377,3972 || 6356,0790 || 1/299,15 || Centraleuropa, Chile, Indonesien
|-
| [[Everest]] || || 1830 || 6377,2763 || 6356,0754 || 1/300,80 || Indien, Pakistan og sydøst asiatiske lande
|}
Bemærk, at de små forskelle i halvaksernes længde ikke er et udtryk for unøjagtigheder, men et resultat af forskelligt valg af ellipsoide i forsøget på at tilpasse den til den lokale [[geoide]].
De fleste moderne referencerammer opererer med en globalt tilnærmet omdrejningsellipsoide med centrum i Jordens [[massemidtpunkt]]. Dette gælder f.eks. i [[GPS]]-systemet. Derimod har alle ellipsoider fra før satellitalderen, generelt ikke centrum det samme sted. De er i stedet knyttet til deres gyldighedsområde via et 'initialpunkt' – et punkt hvor ellipsoiden tangerer den valgte geoide.
===Syv-parameter transformation===
Opsøger man et punkt med en given længde- og breddegrad på to kort lavet på baggrund af hver deres ellipsoide, så lander man ikke det samme sted. Simpelthen fordi ellipsoiderne ikke er sammenfaldne. For at få en koordinat på een ellipsoide udtrykt på en anden ellipsoide, skal man; skalere, rotere og parallelforskyde koordinaten. Dette kaldes også for en ''7-parameter transformation'' eller en '[[:en:Helmert transformation|Helmert transformation]]'.
Da man vedtog WGS84 valgte det amerikanske forsvar at bibeholde deres længdegrad (ca. 85°V) i det nye system. Det havde så den bieffekt at alt andet flyttede rundt på kloden, hvorved også selveste '0-meridianen' flyttede sig. Den flyttede godt 100m østover. Så du står altså ikke længere med et ben på både den østlige og den vestlige halvkugle når du står på observatoriet (og turist attraktionen) i London-forstaden [[Greenwich]].
===Ændringer over tid===
På grund af [[pladetektonik]] flytter [[kontinent]]erne rundt og med tiden passer ellipsoiderne så ikke længere så godt til virkeligheden. Og der må fremstilles nye referencesystemer og tilhørende ellipsoider. Heraf kommer brugen af årstal i enden af ellipsoidenavnet.
===Ellipsoider i dansk kartografi===
I Danmark benyttes i dag officielt GRS80-elipsoiden som er knyttet til referencesystemet [[ETRS-89]] og som også så småt er ved at være i brug i resten af EU. Da forskellen mellem WGS84-elipsoiden og GRS80-ellipsoiden er meget meget lille benyttes dog i praksis også WGS84 til almindelig kortlægning, uden at det får nogen betydning, så længe der ikke er tale om cm-præcision.
Derimod har det stor betydning om en koordinat er refereret til ETRS89/GRS80 eller til det tidligere oficielle system; [[ED50]]/International1924, idét forskellen er mere end 100m i terrænet. (ED50 er dog er ved at være fuldstændigt udfaset, men findes stadig på trykte kort f.eks. [[Kort & Matrikelstyrelsen]]s cm-kort).
[[Agri Bavnehøj]] i [[Mols Bjerge]] har koordinaterne:
* 56°N 13’ 47,6125” og 10°Ø 32’ 11,3928” i ETRS89/GRS80
* 56°N 13’ 49,7777”’ og 10°N 32’ 15,9359” i ED50/International24
Opsøger man punktet i det 'forkerte' referencesystem, så lander man ca. 103m væk.
'' (Beregnet med KMSs Web-koordinattransformation, se ekstern henvisning)''
Det endnu tidligere danske [[System34]](45) har ikke knyttet en egentlig ellipsoide til sig. (Agri Bavnehøj er i øvrigt udgangspunktet for det danske [[planfikspunktsnet]] og System34 hvor det har koordinaten (200km, 200km).
== Kilder==
{{reflist}}
==Eksterne henvisninger==
[http://valdemar.kms.dk/trf/ KMS-Koordinattransformation]
[[Kategori:Geometri]]
| |||