Ellipsoide: Forskelle mellem versioner

Content deleted Content added
→‎Ellipsoider i kartografi: trykfejl i henvisning
TIlføjet afsnit Overfladearel. Flyttet afsnit Ellipsoider i kartografi til ny artikel
Linje 15:
*<math>a=b=c</math> — trivial tilfældet, en '''kugle'''
 
 
===Benævnelser===
Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.
 
Videnskabelig litteratur (især [[geodæsi]]) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.
 
Ældre litteratur bruger '[[sfæroide]]' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.
 
Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).
 
===Rumfang===
Line 29 ⟶ 20:
::<math> V= \frac{4}{3}\pi abc</math>
Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.
 
===Overfladeareal===
[[Overfladeareal]]et (''S'') af en generel (tri-aksial) ellipsoide er<ref>F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, editors, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press), kan findes på nettet http://dlmf.nist.gov/19.33 (see next reference).</ref><ref>NIST (National Institute of Standards and Technology) på http://www.nist.gov 29. dec. 2012</ref>
::<math>
S=2\pi c^2+ \frac{2\pi ab}{\sin\phi}
\left(E(\phi,k)\, \sin^2\phi + F(\phi,k)\, \cos^2\phi \right),
</math>
::hvor
::<math>
\cos\phi = \frac{c}{a}, \qquad
k^2 =\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}, \qquad
a\ge b \ge c,
</math>
og F(φ,k), E(φ,k) er [[elliptisk integral|ukomplette elliptiske integral]]er af første og anden art respektivt. [http://dlmf.nist.gov/19.2]
 
 
For omdrejningsellipsoiden kan udtrykket reduceres til:
::<math>S_{\rm oblat} = 2\pi a^2\left(1+\frac{1-e^2}{e}\tanh^{-1}e\right)
\quad\mbox{hvor}\quad e^2=1-\frac{c^2}{a^2}\quad(c<a). </math>
::<math>S_{\rm prolat} = 2\pi a^2\left(1+\frac{c}{ae}\sin^{-1}e\right)
\quad\qquad\mbox{hvor}\;\quad e^2=1-\frac{a^2}{c^2}\quad(c>a). </math>
I begge tilfælde kan ''e'' betragtes som [[Excentricitet (matematik)|excentricitet]]en af den ellipse der fremkommer ved et tværsnit gennem symmetriaksen.
 
 
Line 37 ⟶ 50:
 
 
===Benævnelser===
==Ellipsoider i kartografi==
Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.
Til brug for udtegning af (land)[[kort]], opmåles punkter på Jorden. Disse punkter koordinatsættes på en oblat-omdrejningsellipsoide der er nærmere specificeret via et [[Referencesystem (geodæsi)|terrestisk referencesystem]] og som enten tilnærmer Jordens form lokalt eller globalt. Herefter kan man fremstille kort i et utal af projektioner til forskellige formål.
 
Videnskabelig litteratur (især [[geodæsi]]) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.
Ligesom for ellipser kan man for omdrejningsellipsoider tale om fladtryktheden.
 
Ældre litteratur bruger '[[sfæroide]]' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.
Fladtrykheden er givet ved:
<math>
\begin{align}
f&=\frac{a-b}{a}.
\end{align}
</math>
 
Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).
Hvor (''a'') er ækvatorialradius og (''b'') er polradius. På almindelig dansk udtrykker fladtryktheden altså, hvor stor forskellen mellem de to radier er i forhold til ækvatorialradius.
 
Der har historisk været benyttet mange forskellige ellipsoider. Nedenfor er en tabel<ref>J.P.Snyder: Map Projections – A Working Manual, USGS Professional Paper 1395, US Dep. of Interior; Washington; 1987</ref> over de mest udbredte. (Værdier med fed skrift er eksakte, resten er afrundede – typisk afledte fra andre enheder)
{| class="wikitable sortable"
|-
! Ellipsoide !! Officielt navn !! Dato !! Ækvatorialradius, km !! Polradius, km !! Fladtrykthed ''f'' !! Gyldigheds område
|-
| [[GRS80]] || Geodetic Reference System 1980 || 1980 || '''6378,137''' || 6356,752314140 || 1/298,257222101 || Global (benyttes af [[:en:IERS|IERS]] og i officiel dansk kortlægning)
|-
| [[World Geodetic System 1984|WGS84]] || World Geodetic System 1984 || 1984 || '''6378,137''' || 6356,752314245 || '''1/298,257223563''' || Global (benyttes af GPS)
|-
| [[Australian (reference ellipsoide)|Australian]] || || 1965 || '''6378,160''' || 6356,7747 || '''1/298,25''' || Australien
|-
| [[Krasovskiy (reference ellipsoide)|Krasovskiy]] || || 1940 || '''6378,245''' || 6356,8630 || '''1/298,3''' || [[Sovjetunionen]] (Rusland) og Østeuropa
|-
| [[Hayford (reference ellipsoide)|Internat'l]] || International1924 el. Hayford1909 || 1924 || '''6378,388''' || 6356,9119 || '''1/297''' || Resten af verden (herunder Nordeuropa)
|-
| [[Clarke 1880|Clarke80]] || Clarke 1880 || 1880 || 6378,2491 || 6356,5149 || 1/293,46 || Det meste af Afrika, samt Frankrig
|-
| [[Clarke 1866|Clarke66]] || Clarke 1866 || 1866 || '''6378,2064''' || '''6356,5838''' || 1/294,98 || Nordamerika, Fillipinerne
|-
| [[Airy (reference ellipsoide)|Airy]] || Airy 1830 || 1830 || 6377,5634 || 6356,2569 || 1/299,32 || Storbritannien
|-
| [[Bessel (reference ellipsoide)|Bessel]] || Bessel 1841 || 1841 || 6377,3972 || 6356,0790 || 1/299,15 || Centraleuropa, Chile, Indonesien
|-
| [[Everest (reference ellipsoide)|Everest]] || Everest 1830 || 1830 || 6377,2763 || 6356,0754 || 1/300,80 || Indien, Pakistan og sydøst asiatiske lande
|}
Bemærk, at de små forskelle i halvaksernes længde ikke er et udtryk for unøjagtigheder, men et resultat af forskelligt valg af ellipsoide i forsøget på at tilpasse den til den lokale [[geoide]].
 
==Ellipsoider i kartografi==
De fleste moderne referencerammer opererer med en globalt tilnærmet omdrejningsellipsoide med centrum i Jordens [[massemidtpunkt]]. Dette gælder f.eks. i [[GPS]]-systemet. Derimod har alle ellipsoider fra før satellitalderen, generelt ikke centrum det samme sted. De er i stedet knyttet til deres gyldighedsområde via et 'initialpunkt' – et punkt hvor ellipsoiden tangerer den valgte geoide.
Indenfor kartografien benyttes oblate omdrejningsellipsoider, kaldet [[referenceellipsoide]]r, til at koordinatsætte punkter på Jorden.
 
===Syv-parameter transformation===
Opsøger man et punkt med en given længde- og breddegrad på to kort lavet på baggrund af hver deres ellipsoide, så lander man ikke det samme sted. Simpelthen fordi ellipsoiderne ikke er sammenfaldende. For at få en koordinat på én ellipsoide udtrykt på en anden ellipsoide, skal man; skalere, rotere og parallelforskyde koordinaten. Dette kaldes også for en ''7-parameter transformation'' eller en ''[[Helmert transformation]]''.
Da man vedtog WGS84 valgte det amerikanske forsvar at bibeholde deres længdegrad (ca. 85°V) i det nye system. Det havde så den bivirkning at alt andet flyttede rundt på kloden, hvorved også selveste ''0-meridianen'' flyttede sig. Den flyttede godt 100m østover. Så man står altså ikke længere med et ben på både den østlige og den vestlige halvkugle når man står på observatoriet (og turistattraktionen) i London-forstaden [[Greenwich]].
 
===Ændringer over tid===
På grund af [[pladetektonik]] flytter [[kontinent]]erne rundt og med tiden passer ellipsoiderne så ikke længere så godt til virkeligheden. Og der må fremstilles nye referencesystemer og tilhørende ellipsoider. Heraf kommer brugen af årstal i enden af ellipsoidenavnet.
 
===Ellipsoider i dansk kartografi===
I Danmark benyttes i dag officielt GRS80-elipsoiden som er knyttet til referencesystemet [[ETRS89|ETRS-89]] og som også så småt er ved at være i brug i resten af EU. Da forskellen mellem WGS84-elipsoiden og GRS80-ellipsoiden er meget meget lille benyttes dog i praksis også WGS84 til almindelig kortlægning, uden at det får nogen betydning, så længe der ikke er tale om cm-præcision.
Derimod har det stor betydning om en koordinat er refereret til ETRS89/GRS80 eller til det tidligere officielle system; [[ED50]]/International1924, idet forskellen er mere end 100m i terrænet. (ED50 er dog er ved at være fuldstændigt udfaset, men findes stadig på trykte kort f.eks. [[Kort & Matrikelstyrelsen]]s cm-kort).
 
[[Agri Bavnehøj]] i [[Mols Bjerge]] har koordinaterne:
* 56° 13’ 47,6125’’N og 10° 32’ 11,3928’’Ø – (ETRS89/GRS80)
* 56° 13’ 49,7777’’N og 10° 32’ 15,9359’’Ø – (ED50/International24)
Opsøger man punktet i det 'forkerte' referencesystem, så lander man ca. 103m væk. ''(Beregnet med KMSs Web-koordinattransformation, se ekstern henvisning)''.
Det er værd at bemærke, at Agri Bavnehøj ikke er flyttet ca. 100m ssv-over. Der er tale om [[geodætiske koordinater]], altså koordinater på ellisoiden, og ikke [[astronomiske koordinater]]. Sidstnævnte afhænger af den lokale lodlinje og dermed af geoiden. På grund af pladetektonik flytter Danmark ca. 2-3 mm nnø-over hvert år. Så højen er på 40 år ''kun'' flyttet ca. 10cm, endda i modsat retning.
 
Det endnu tidligere danske [[System34]](45) har ikke knyttet en egentlig ellipsoide til sig. (Agri Bavnehøj er i øvrigt udgangspunktet for det danske [[planfikspunktsnet]] og System34 hvor det har koordinaten (200km, 200km).
 
== Kilder==
Line 108 ⟶ 71:
 
[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Kartografi]]
 
[[ar:سطح ناقص]]