Kasteparabel: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
No edit summary |
Oprydning og tilføjelse af max højde og længde udledning |
||
Linje 1:
'''Kasteparablen''' er den kurve/bane som et legeme vil følge ved et '''skråt kast'''. Man kan beregne selve banen for det legeme der affyres/kastes, og dermed længden og højden af kastet, ved at kende affyringshastigheden og affyringsvinklen (derfor navnet det skrå kast). Dette gøres generelt uden at tage højde for/hensyn til luftmodstand, [[corioliseffekten]] o.l.. Kasteparablen tager form som en matematisk [[parabel]] som det vises nedenfor, deraf navnet.
Hovedresultaterne vises her, og udledes i den nedenstående tekst. For et legeme der skydes/kastes afsted fra startpunktet <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math>, med starthastighed <math>v_0</math> og affyringsvinkel <math>\alpha</math> i forhold til vandret, er kasteparablen givet ved
:<math>
</math>
hvor <math>g=9.8\text{m}/\text{s}^2</math> er tyngdeaccelerationen.
Den maksimale kastelængde <math>x_{max}</math> og kastehøjde <math>y_{max} </math> givet ved
:<math>
x_{max}=\frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g} \qquad y_{max}= \frac{v_0^2 \cdot \sin(\alpha)^2}{2g}\,,
</math>
og den optimale affyringsvinkel er
:<math>
\alpha_{optimal} = 45^\circ \,.
</math>
== Udledning ==
Line 40 ⟶ 54:
Hvis man starter bevægelsen i <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math> reduceres kasteparablen til
:<math>
▲:<math>y(x)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)}\cdot x^2 + \tan(\alpha)\cdot x.</math>
y(x)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)}\cdot x^2 + \tan(\alpha)\cdot x.
</math>
=== Beregning af maksimal kastelængde og højde ===
Line 47 ⟶ 63:
Det første man kan beregne er hvornår legemet rammer jorden. Denne situationen svarer til at kasteparablen skær y-aksen, dvs. <math>y(x)=0</math>,
:<math>
0=-\frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)}\cdot
</math>
som løses ved brug af standardløsningsformlen for nulpunkter i et [[andengradspolynomium]],
Line 54 ⟶ 70:
</math>
:<math>
</math>
:<math>
</math>
Løsningen <math>x=0</math> giver bare skæringen med y-aksen i startpunktet <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math>, og er derfor ikke relevant. Den anden løsningen giver derimod den maksimale kastelængde,
:<math>
x_{max}=\frac{2\cdot v_0^2 \cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)}{g}=\frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}
</math>
hvor det er brugt at <math>2\sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\alpha)</math>.
Direkte af denne formel ses det at den optimale kastevinkel er
:<math>
\alpha_{optimal} = 45^\circ \,.
</math>
Dette resultat ses udfra at for <math>x_{max}</math> skal være størst muligt skal <math>\sin(2\alpha)=1</math>. Da <math>\sin(90^\circ)=1</math>, må <math>\alpha_{optimal}=\frac{90}{2}=45^\circ</math>.
Der hvor legemet er højest over startpunktet kan findes ved at bruge symmetri. Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, dvs. der hvor legemet vender retning og har opnået sin maksimale højde. Dette betyder at x-værdien for toppunktet ligger midt mellem parablen skæring med x-aksen,
:<math>
x_{top}=\frac{1}{2}x_{max} = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{2g}
</math>
Herfra findes højden i dette punkt, ved at indsætte <math>x_{top}</math> i udtrykket for <math>y(x)</math>,
:<math>
y_{top}=-\frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)}\cdot \left(\frac{v_0^2 \cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)}{g}\right)^2 + \tan(\alpha)\cdot \frac{v_0^2 \cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)}{g} = -\frac{v_0^2 \cdot \sin(\alpha)^2}{2g} +\frac{v_0^2 \cdot \sin(\alpha)^2}{g}
</math>
:<math>
y_{top}= \frac{v_0^2 \cdot \sin(\alpha)^2}{2g}
</math>
| |||