Potensrække: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
YurikBot (diskussion | bidrag) m robot Tilføjer: es:Serie de potencias |
Pred (diskussion | bidrag) Udvidet med eksempelafsnit fra enwiki |
||
Linje 11:
:<math>\sum_{n=0}^\infty z^n = 1 + z + z^2 + \cdots.</math>
==Eksempler==
Ethvert [[polynomium]] kan let udtrykkes som en potensrække med centrum i ''c''. For eksempel kan polynomiuet <math>f(x) = x^2 + 2x + 3</math> skrives som en potensrække med centrum <math>c=0</math>, idet
::<math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,</math>
eller med centrum <math>c=1</math> som
::<math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>
eller med et vilkårligt andet centrum. Man kan ofte betragte potensrækker som "polynomier af uendelig grad," selvom potensrækker ikke er polynomier.
Den [[geometrisk række|geometriske række]]
::<math> \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,</math>
som er gyldig for <math>x\in\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<1\}</math> er en af de vigtigste eksempler på en potensrække. Det samme gælder ekspoentialfunktionen
::<math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.</math>
Disse potensrækker er også eksempler på Taylorrækker. Der findes imidlertid også potensrækker, der ikke er Taylorrækken for nogen funktioner; eksempelvis
::<math>\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.</math>
Negative eksponenter tillades ikke i potensrækker - f.eks. betragtes rækken <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math> som en potensrække (selvom det er en [[Laurentrække]].) På samme måde tillades ikke brøkeksponenter som f.eks. <math>x^{1/2}</math> (se [[Puiseuxrække]].) Koefficienterne <math>a_n</math> må ikke afhænge af <math>x</math>, så
:<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math> er f.eks. '''ikke''' en potensrække.
[[Kategori:Matematik]]
| |||