Sinus (matematik): Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Wholle (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved Cgtdk, fjerner ændringer fra 80.62.237.116 (diskussion | bidrag) |
|||
Linje 15:
Hvis sinusfunktionen skal beregnes af [[Grad (vinkelmål)|grader]], skal formlens <math>2*\pi</math> erstattes med 360 – og fasen skal i stedet isættes grader.
== Sinus og den retvinklede trekant ==
[[Fil:Retvinklet trekant med div maal.jpg|right|Sider og vinkler i en retvinklet trekant]]
For en retvinklet trekant gælder, at sinus til en af de to vinkler der ikke er rette er lig med forholdet mellem den modstående [[katete]] og trekantens [[hypotenuse]]. For trekanten på illustrationen til højre gælder, at sinus til den vinkel ''θ'' der er markeret med gul farve, er lig med forholdet mellem længderne af siderne ''a'' og ''c'', dvs.:<br />
<math>\sin \theta = \frac{a}{c}</math>
Selv om denne definition bygger på en retvinklet trekant, bruges sinus-funktionen i beregninger over alle mulige [[trekant]]er i planen, med eller uden rette vinkler – bl.a. i den såkaldte [[sinusrelationen|sinusrelation]].
== Sinus i enhedscirklen ==
[[Fil:Sinus definition i enhedscirklen.jpg|right|Sinus giver y-koordinaten til et punkt på enhedscirklen]]
Definitionen med den retvinklede trekant kan redegøre for sinus til vinkler mellem 0 og 90 [[grad (vinkelmål)|grader]], men ved hjælp af enhedscirklen kan man udvide [[definitionsmængde]]n til sinus til alle [[reelle tal]].<br />
På Illustrationen til højre ses [[enhedscirklen]], hvori er indtegnet nogle centervinkler hvis ene ben falder sammen med ''x''-aksen (i pilens retning). Det andet ben skærer cirklens periferi i et punkt, hvis ''y''-koordinat (markeret med små kvadrater), eller afstand til ''x''-aksen, er lig med sinus til den pågældende centervinkel.
Centervinkler måles med den positive side af ''x''-aksen som »nulpunkt«. Går man »mod uret« når man måler vinklen, regnes denne vinkel positivt, mens vinklen er negativ hvis man »måler medurs«.
== Egenskaber ==
[[Fil:Graf over sinus.jpg|right|400px|Graf over sinus-funktionen]]
Kurven til højre viser hvordan sinus til en vinkel ''θ'' varierer for vinkler mellem ±360° (nederste vandrette skala). Som nævnt er sinus defineret for ethvert reelt tal ''θ'' – ud over det viste interval fortsætter kurven i det samme bølge-mønster uendeligt langt til begge sider.<br />
Man kan se at kurven aldrig kommer ud over intervallet fra -1 til 1 på ''y''-aksen: Den såkaldte [[værdimængde]] til sinus er netop alle reelle tal fra og med -1 til og med 1.
Sinusfunktionen (for vinkler givet i buemål, mere herom senere) er kontinuert og [[differentiabel]]: Stamfunktionen, eller det ubestemte [[integral]], til sin ''v'' er -cos ''v'', og den afledede funktion af sin ''v'' er cos ''v''.
=== Vinkelmål ===
Det tal man i praktiske beregninger tager sinus af, repræsenterer så godt som altid en vinkel, eventuelt en såkaldt [[fasevinkel]] – af den grund skal man, når man beregner sinus, være sikker på hvilken [[måleenhed]] vinklen er opgivet i. I teoretisk arbejde, f.eks. matematiske og fysiske beregninger, bruges den lidt specielle enhed [[radian]]; vinklens [[buemål]] eller »naturlige vinkelmål«, med mindre andet udtrykkeligt er angivet. I toppen af grafen ovenfor er indsat en skala der angiver vinklen udtrykt i radianer.<br />
I andre, mere praktisk orienterede sammenhænge, findes en række forskellige måleenheder – kategorien [[:Kategori:Vinkelenheder|vinkelenheder]] giver en oversigt over artikler om relevante måleenheder.<br />
Matematiske [[lommeregner]]e har almindeligvis en tast og nogle små bogstaver i displayet til at vælge mellem »D« for »almindelige« [[Grad (vinkel)|grader]], »G« for såkaldte [[nygrad]]er og »R« for førnævnte radianer: Man skal have valgt det rigtige mål inden man trykker på en trigonometrisk funktion.
=== Sinus til visse vinkler ===
{| align="right" border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-----
! style="background:#ffdead;" colspan="3" | Vinkel ''a''
! colspan="2" style="background:#ffdead;" | sin ''a''
|-----
| style="background:#efefef;" align="Center" | Grader
| style="background:#efefef;" | Radianer
| style="background:#efefef;" align="Center" | Nygrader
| style="background:#efefef;" align="Center" | Eksakt
| style="background:#efefef;" | Decimalbrøk
|-----
| align="Center" | 0° || align="Center" | 0
| align="Center" | 0<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | 0 || rowspan="2" | 0
|-----
| align="Center" | 180° || align="Center" | <math>\pi</math>
| align="Center" | 200<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 15°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{12}</math>
| align="Center" | 16 2/3<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| rowspan="2" | 0,258819045102521
|-----
| align="Center" | 165°
| align="Center" | <math>\frac{11 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 183 1/3<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 30°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{6}</math>
| align="Center" | 33 1/3<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{1}{2}</math>
| rowspan="2" | 0,5
|-----
| align="Center" | 150°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{6}</math>
| align="Center" | 166 2/3<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 45°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{4}</math>
| align="Center" | 50<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\sqrt{\frac{1}{2}}</math>
| rowspan="2" | 0,707106781186548
|-----
| align="Center" | 135°
| align="Center" | <math>\frac{3 \cdot \pi}{4}</math>
| align="Center" | 150<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 60°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{3}</math>
| align="Center" | 66 2/3<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| rowspan="2" | 0,866025403784439
|-----
| align="Center" | 120°
| align="Center" | <math>\frac{2 \cdot \pi}{3}</math>
| align="Center" | 133 1/3<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 75°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 83 1/3<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| rowspan="2" | 0,965925826289068
|-----
| align="Center" | 105°
| align="Center" | <math>\frac{7 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 116 2/3<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 90°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" | 100<sup>g</sup> || align="Center" | 1
| 1
|}
For nogle få, »specielle« vinkler kan man ad [[geometri]]sk vej finde frem til eksakte værdier for sinus til disse vinkler. Tabellen til højre giver et overblik.
Ved at studere illustrationen med enhedscirklen kan man slutte sig til, at hvis man måler en vis vinkel enten med- eller modurs (hhv. en negativ og en positiv vinkel) ud fra ''x''-aksen, får man et skæringspunkt der ligger hhv. under eller over ''x'' aksen. Men afstanden fra hver disse to punkter ind til ''x''-aksen er den samme.<br />
Matematisk gælder, at:<br />
sin ''x'' = -sin -''x''<br />
For tabellen til højre betyder dette, at hvis sinus til f.eks. 30° er 0,5, så er sinus til -30° lig med -0,5.
Endvidere gælder, at eftersom sinus er [[periodisk]], er sin ''x'' = sin (''x'' + ''n''·360°) hhv. sin ''x'' = sin (''x'' + ''n''·2·π) hhv. sin ''x'' = sin (''x'' + ''n''·400<sup>g</sup>), hvor ''n'' er et helt tal.
=== Invers sinus ===
Hvis man »indskrænker« definitionsmængden for sinus til intervallet fra -90° til 90° (-100 til 100 nygrader eller -π/2 til π/2 radianer), får man en såkaldt [[Monoton (matematik)|monoton]] eller »én-til-én-tydig« funktion, og til sådanne funktioner kan opstilles en såkaldt [[invers funktion]], som populært sagt »regner baglæns« fra sinus til en vinkel og tilbage til vinklen. For sinus' vedkommende kaldes denne inverse funktion for [[invers sinus]].
== Eksterne henvisninger ==
| |||