Maxwells ligninger: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m Bragte nogle matematiske symboler i overensstemmelse med definitionerne givet i bunden af artiklen (hvorfor er de dog samlet til sidst i artiklen?) |
W00tles (diskussion | bidrag) Omskrevet makroskopiske ligninger, indført mikroskopiske ligninger før, forklaret forhold mellem E/D og B/H, forklaret forhold mellem total og fri ladning/strøm |
||
Linje 2:
'''Maxwells ligninger''' (også kendt som '''Maxwells love''') er fire ligninger som tilsammen danner basis for [[elektromagnetisme]]n. De beskriver sammenhængen mellem [[elektrisk felt|elektriske]] og [[magnetisk felt|magnetiske]] felter, [[ladning]]er og [[elektrisk strøm]]. Ligningerne er opkaldt efter [[James Clerk Maxwell]], som var den første der samlede ligningerne til et hele og korrigerede [[Ampères lov]]. Samtidig postulerede han (korrekt, skulle det vise sig) eksistensen af [[elektromagnetiske bølger]], og at [[lys]], [[varmestråling]] mm. var elektromagnetiske bølger.
== "Mikroskopiske" ligninger ==
De mikroskopiske Maxwell-ligninger udtrykt ved <math>\mathbf{E}</math>- og <math>\mathbf{B}</math>-feltet er generelle, og holder i alle tilfælde. Som regel anvendes de i [[vakuum]]. Ved at indføre den [[elektrisk forskydningsfelt|elektriske forskydning]] <math>\mathbf{D}</math> og [[magnetisk intensitet|magnetiske intensitet]] <math>\mathbf{H}</math> kan ligingerne skrives på en alternativ form der tager højde for [[polarisering|polariseringen]] og [[magnetisering|magnetiseringen]] af materialer, se nedenfor.
=== Gauss' lov ===
[[Gauss' lov]] udtrykker sammenhængen mellem [[elektrisk ladning]] og det [[elektrisk felt|elektriske felter]]. Denne kan udtrykkes på integralform således:
<math>\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho dV = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}.</math>
I matematisk terminologi er [[integrale|integralet]] af <math>\mathbf{E}</math>-feltet over en lukket flade proportionel med den omsluttede ladning <math>q_{enc}</math>. Ladningen er ladningstætheden <math>\rho(\mathbf r,t)</math> integreret over det omsluttede volumen
<math>
Ækvivalent er er [[divergens|divergensen]] af <math>\mathbf E</math>-feltet lig den lokale ladningstæthed divideret med [[vakuum-permittivitet|vakuum-permittiviteten]] <math>\varepsilon_0</math> . Dette kan udtrykkes således:
<math>\nabla \cdot \mathbf{
[[Coulombs lov]], der beskriver det elektriske felt fra elektriske ladninger, kan udledes af Gauss' lov.
Line 20 ⟶ 26:
=== Gauss' lov om magnetisme ===
[[Gauss' lov om magnetisme]] udtrykker tilsvarende en sammenhæng for et [[magnetisk felt]]. Da der imidlertid (så vidt vides) ikke findes [[magnetisk monopol|magnetiske monopoler]], er den del der svarer til den elektriske ladning i Gauss' lov lig nul. Man kan jf. integralformen sige, at
<math>\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0</math>
I matematisk terminologi er integralet af
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
I billedet med den gammeldags glødepære er pæren altid slukket; dvs. alt lys er kommer ind gennem glasset kommer også ud igen, og bidragene "ind" og "ud" går lige op.
Line 32 ⟶ 40:
[[Faradays induktionslov]] fastlægger sammenhængen mellem det elektriske felt og det magnetiske felt. Loven beskriver hvordan et elektrisk felt rundt i en lukket sløjfe (f.eks. et stykke ledning) giver anledning til en [[magnetisk flux]] gennem kredsløbet. Sammenhængen virker også den modsatte vej ([[induktion]]): hvis den magnetiske flux gennem sløjfen ændrer sig, giver det anledning til et elektrisk felt. Matematisk udtrykkes dette:
<math>\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{
I matematisk terminologi er integralet af
På differentialform giver loven sammenhængen mellem [[rotation (matematik)|rotationen]] af <math>\mathbf E</math> og den tidsafledte af <math>\mathbf B</math>:
<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
Faradays lov er basis for alle fænomener der beror på [[induktion]], f.eks. [[transformator|transformatorer]]: Opbygges en spænding i den ene spole, skabes et magnetfelt, der giver en spænding i den anden spole.
=== Ampères lov ===
[[Ampères lov]] giver relationen mellem elektrisk strøm og magnetisk felt:
<math>\oint_C \mathbf{
\mu_0\varepsilon_0\frac{
I matematisk terminologi er [[kurveintegral|kurveintegralet]]
På differentialform giver loven sammenhængen mellem [[rotation (matematik)|rotationen]] af <math>\mathbf B</math> og strømtætheden, med Maxwells tilføjelse:
<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>
Bemærk at <math>\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2</math>, hvor <math>c</math> er [[lysets hastighed]].
=== Samlet ===
Line 58 ⟶ 76:
|-
| Gauss' lov:
| <math>\nabla \cdot \mathbf{
| <math>\oint_S \mathbf{
|-
| [[Gauss' lov om magnetisme]] <br /> (i fravær af [[magnetisk monopol|magnetiske monopoler]]):
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
| <math>\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0</math>
|-
| [[Faradays induktionslov]]:
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{d \mathbf{B}} {d t}</math>
| <math>\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \frac{\partial}{\partial t} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}</math>
|-
| [[Ampères lov]]<br /> (med Maxwells udvidelse):
| <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>
| <math>\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0\int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\int_S \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A}</math>
|}
== Makroskopiske ligninger i materialer ==
I materialer med [[polarisering]] og [[magnetisering]] kan Maxwell-ligningerne opstilles for det [[elektrisk forskydningsfelt|elektriske forskydningsfelt]] <math>\mathbf D</math> og den [[magnetisk intensitet|magnetiske intensitet]] <math>\mathbf H</math>, der er givet ved de [[konstitutiv relation|konstitutive relationer]]
<math> \mathbf D = \varepsilon_0 \mathbf E + \mathbf P </math>
<math> \mathbf H = \frac{1}{\mu_0}\mathbf B - \mathbf M </math>.
<math>\mathbf H(\mathbf r,t)</math> er [[polariseringstæthed|polariseringstætheden]], og <math>\mathbf M(\mathbf r,t)</math> er [[magnetiseringstæthed|magnetiseringstætheden]].
I [[lineær|lineære]], [[homogen|homogene]] og [[isotrop|isotrope]] materialer er polariseringen og magnetiseringen givet ved
<math> \mathbf P = \varepsilon_0 \chi_E \mathbf E </math>
<math> \mathbf M = \chi_M \mathbf H, </math>
hvor <math>\chi_E</math> er den [[elektrisk susceptibilitet|elektriske susceptibilitet]] og <math>\chi_M</math> er den [[magnetisk susceptibilitet|magnetiske susceptibilitet]]. <math>\mathbf D</math>- og <math>\mathbf H</math>-felterne er i dette tilfælde relateret til <math>\mathbf E</math>- og <math>\mathbf B</math>-felterne ved
<math> \mathbf D = \varepsilon \mathbf E </math>
<math> \mathbf B = \mu \mathbf H. </math>
Her er <math>\varepsilon</math> [[permittivitet|permittiviteten]] af materialet, relateret til den elektriske susceptibilitet ved
<math> \varepsilon = \varepsilon_0(1+\chi_E), </math>
og <math>\mu</math> er [[permeabilitet|permeabiliteten]] af materialet, relateret til den magnetiske susceptibilitet ved
<math> \mu = \mu_0(1+\chi_M).</math>
I vakuum er <math>\varepsilon=\varepsilon_0</math> og <math>\mu=\mu_0</math>, så felterne er givet ved de simple relationer
<math> \mathbf D = \varepsilon_0\mathbf E </math>
<math> \mathbf B = \mu_0 \mathbf H. </math>
Ved at beskrive materialerne ved deres polarisering og magnetisering kan Maxwell-ligningerne omskrives til kun at indeholde den [[fri ladning|frie ladningstæthed]] <math>\rho_f</math> og den frie [[fri strøm|frie strømtæthed]] <math> \mathbf J_f</math>. Disse størrelser beskriver den ladning og strøm der er tilbage når polariseringen og magnetiseringen er taget i betragtning, og bidrager ikke til disse. I en [[elektrisk leder|leder]] vil den frie strøm være strømmen af [[ledningselektron|ledningselektroner]] der transporteres igennem lederen.
=== Gauss' lov ===
I materialer udtrykker [[Gauss' lov]] sammenhængen mellem [[fri elektrisk ladning|frie ladninger]] og det [[elektrisk forskydningsfelt|elektriske forskydningsfelt]]. På integralform skrives
<math>\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho_f dV = q_{f}.</math>
I matematisk terminologi er [[integrale|integralet]] af <math>\mathbf{D}</math>-feltet over en lukket flade proportionel med den omsluttede frie ladning <math>q_{f}</math>. Ladningen er ladningstætheden <math>\rho_f(\mathbf r,t)</math> integreret over det omsluttede volumen <math>V</math>
<math>q_{f}=\int_V \rho_f(\mathbf r) dV.</math>
På differentialform bliver loven
<math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f.</math>
=== Gauss' lov om magnetisme ===
[[Gauss' lov om magnetisme]] er uændret i makroskopiske materialer, og skrives stadig med <math>\mathbf E</math>- og <math>\mathbf B</math>-felterne som
<math>\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0,</math>
eller på differentialform som
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0.</math>
=== Faradays lov ===
[[Faradays induktionslov]] er også uændret. På integralform
<math>\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \frac{d}{d t} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A},</math>
og differentialform
<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}.</math>
=== Ampères lov ===
[[Ampères lov]] giver forholdet mellem den magnetiske intensitet <math>\mathbf H</math> og frie strøm <math>\mathbf J_f</math>. Desuden optræder [[forskydningsstrøm|forskydningsstrømmen]]
<math> \mathbf J_D = \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}, </math>
som Maxwell tilføjede til Ampères lov for at få den til at stemme overens med eksperimenter. På integralform er loven
<math>\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J_f} \cdot d \mathbf{A} +
\frac{\partial}{\partial t}\int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}.</math>
På differentialform er loven
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J_f} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}.</math>
=== Samlet ===
Samlet udtrykkes Maxwells fire ligninger (for makroskopiske materialer) på [[vektor (geometri)|vektorform]] på følgende måde:
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
|- style="background-color: #B0C4DE;"
! Navn
! [[Differentiel|Differentialform]]
! [[Integral]]form
|-
| Gauss' lov:
| <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f</math>
| <math>\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho_f dV</math>
|-
| [[Gauss' lov om magnetisme]] <br /> (i fravær af [[magnetisk monopol|magnetiske monopoler]]):
Line 67 ⟶ 200:
| [[Faradays induktionslov]]:
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
| <math>\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{
|-
| [[Ampères lov]]<br /> (med Maxwells udvidelse):
| <math>\nabla \times \mathbf{H} =
| <math>\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{
\frac{
|}
=== Variabler ===
Den nedenstående tabel forklarer de enkelte symboler der indgår i Maxwells ligninger og giver [[SI-enhed]]en for hver enkelt (vektorstørrelser er med '''fed skrift''', [[skalar]]er i ''kursiv''):
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
Line 84 ⟶ 218:
|-
| <math>\mathbf{E}</math>
| [[
| [[Volt]] per [[meter]]
|-
| <math>\mathbf{H}</math>
| [[
| [[Ampere]] per meter
|-
| <math>\mathbf{D}</math>
| [[
| [[Coulomb]] pr. [[kvadratmeter]]
|-
Line 100 ⟶ 234:
|-
| <math>\ \rho \ </math>
|
| [[Coulomb]] pr. [[kubikmeter]]
|-
| <math>\ \rho_f \ </math>
| ''Fri'' [[elektrisk ladning]]stæthed, <br />uden elektriske [[elektrisk dipol|dipoler]] bundet i et materiale
| [[Coulomb]] pr. [[kubikmeter]]
|-
|<math>\mathbf{J}</math>
| Total [[strømtæthed]]
| [[Ampere]] pr. kvadratmeter
|-
|<math>\mathbf{J_f}</math>
| ''Fri'' [[strømtæthed]], <br />uden [[polarisations|polarisationsstrøm]]- og [[magnetiseringsstrøm|magnetiseringsstrømme]] bundet i et materiale
| [[Ampere]] pr. kvadratmeter
|-
| <math>d\mathbf{A}</math>
| [[
størrelse og retning [[normal (matematik)|normal]] til overfladen ''S''
| kvadratmeter
|-
|<math> dV \ </math>
|
| kubikmeter
|-
| <math> d \mathbf{l} </math>
|
| meter
|-
|<math>\nabla \cdot</math>
| [[Divergens]] ([[operator]])
|
|-
| <math>\nabla \times</math>
| [[Rotation (vektorfelt)|Rotation]] ([[operator]])
|
|}
| |||