Versionen fra 18. jan. 2013, 06:06 redigér Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits m →‎Intro: Linkfix. ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 11. jul. 2013, 05:18 redigér fjern redigering W00tles (diskussion \| bidrag) 60 edits definition, euler-lagrange, udbygget eksempel Gå til næste forskel →
Linje 1: {{wikificering}} '''Lagrangefunktionen''' (engelsk '''Lagrangian''') er en fysisk størrelse, der anvendes indenfor [[analytisk mekanik]] til at beskrive energiforholdene for et mekanisk system. ~~Lagrangian'en beregnes som [[Kinetisk]] energi minus [[Potentiel energi]] for samme system. Ved simpel differentialregning kan Lagrangian'en bruges til at opskrive ligninger for systemets bevægelser.~~ Ved simpel [[differentialregning]] kan Lagrangian'en bruges til at opskrive ligninger for systemets bevægelser fra [[Euler-Lagrange-ligningerne]]. Lagrangian'en har fået sit navn efter den franske [[matematik]]er [[Joseph Louis Lagrange]] == Definition == Som eksempel kan tages Lagrangian'en for en punktformet [[masse]], der foretager et fald i [[tyngdefeltet]].▼ Lagrangian'en <math>L</math> for et system er defineret som den totale [[kinetisk energi\|kinetiske energi]] <math>T</math> minus den totale [[potentiel energi\|potentielle energi]] <math>V</math> for systemet; ~~Den potentielle energi for denne masse er naturligvis~~ <math> L = T - V. </math> ~~V = m g x~~ Når Lagrangian'en er kendt, kan dynamikken af systemet bestemmes ud fra [[Euler-Lagrange-ligningerne]], men en konstruktion af funktionen kræver et gæt på et passende udtryk for den potentielle energi ud fra overvejelser om systemet. hvor m beskriver massens størrelse, g er 9.82 m/s (gravitationsaccelerationen i Danmark) og x massens højde i forhold til et defineret nulpunkt.▼ == Euler-Lagrange-ligningerne == ~~Den kinetiske energi er givet ved:~~ Lagrangian'en indeholder al information der skal bruges for at bestemme et givet systems [[dynamik]], ud over [[grænsebetingelse]]r for bevægelsen. [[Bevægelsesligning]]er for partiklerne findes fra [[Euler-Lagrange-ligningerne]]. For en partikel i en dimension med Lagrangian ~~T = ½ m ẋ~~ <math>L(x,\dot x) = T(x,\dot x) - V(x,\dot x)</math> hvor ẋ betegner koordinaten x differentieret ifølge tiden.▼ hvor <math>x,\dot x</math> er hhv. partiklens position og hastighed, er bevægelsesligningen givet ved Lagrangian'en er i dette tilfælde:▼ <math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} - \frac{\partial L}{\partial \dot x} = 0, </math> ~~L = T-V = ½ˑmˑẋ – mˑgˑx~~ der ved at evaluere de [[partiel afledt\|partielle afledede]] vil give en [[differentialligning]] for partiklens position. Denne ligning er ækvivalent med [[Newtons anden lov]]. Systemer i højere dimensioner eller med flere partikler vil generelt give et system af koblede differentialligninger. == Eksempler == === Konstant acceleration === ▲Som et simpelt eksempel kan tages Lagrangian'en for en punktformet [[masse]], der foretager et fald i et konstant [[~~tyngdefeltet~~tyngdefelt]]. Den potentielle energi for denne masse er naturligvis <math> V = m g x, </math> ▲hvor m beskriver massens størrelse, g er 9.82 m/s (~~gravitationsaccelerationen~~[[tyngdeacceleration]]en i Danmark) og x massens højde i forhold til et defineret nulpunkt. Den kinetiske energi er givet ved: <math>T = \frac{1}{2} m \dot x^2,</math> ▲hvor ẋ<math>\dot x</math> betegner koordinaten x differentieret ~~ifølge~~i forhold til tid, altså ~~tiden~~hastigheden. ▲Lagrangian'en er i dette tilfælde: <math>L = T-V = \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - mgx.</math> Ved at anvende Euler-Lagrange-ligningen <math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} - \frac{\partial L}{\partial \dot x} = 0, </math> hvor de partielle afledte er <math> \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x \;\; , \;\; \frac{\partial L}{\partial x} = -mg</math> fås <math> m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg, </math> der er [[Newtons anden lov]] for bevægelse med konstant acceleration. [[Kategori:Fysik]]

Lagrange (fysik): Forskelle mellem versioner