Lagrange (fysik): Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Inc (diskussion | bidrag) m →Intro: Linkfix. |
W00tles (diskussion | bidrag) definition, euler-lagrange, udbygget eksempel |
||
Linje 1:
{{wikificering}}
'''Lagrangefunktionen''' (engelsk '''Lagrangian''') er en fysisk størrelse, der anvendes indenfor [[analytisk mekanik]] til at beskrive energiforholdene for et mekanisk system.
Ved simpel [[differentialregning]] kan Lagrangian'en bruges til at opskrive ligninger for systemets bevægelser fra [[Euler-Lagrange-ligningerne]]. Lagrangian'en har fået sit navn efter den franske [[matematik]]er [[Joseph Louis Lagrange]]
== Definition ==
Som eksempel kan tages Lagrangian'en for en punktformet [[masse]], der foretager et fald i [[tyngdefeltet]].▼
Lagrangian'en <math>L</math> for et system er defineret som den totale [[kinetisk energi|kinetiske energi]] <math>T</math> minus den totale [[potentiel energi|potentielle energi]] <math>V</math> for systemet;
<math> L = T - V. </math>
Når Lagrangian'en er kendt, kan dynamikken af systemet bestemmes ud fra [[Euler-Lagrange-ligningerne]], men en konstruktion af funktionen kræver et gæt på et passende udtryk for den potentielle energi ud fra overvejelser om systemet.
hvor m beskriver massens størrelse, g er 9.82 m/s (gravitationsaccelerationen i Danmark) og x massens højde i forhold til et defineret nulpunkt.▼
== Euler-Lagrange-ligningerne ==
Lagrangian'en indeholder al information der skal bruges for at bestemme et givet systems [[dynamik]], ud over [[grænsebetingelse]]r for bevægelsen. [[Bevægelsesligning]]er for partiklerne findes fra [[Euler-Lagrange-ligningerne]]. For en partikel i en dimension med Lagrangian
<math>L(x,\dot x) = T(x,\dot x) - V(x,\dot x)</math>
hvor ẋ betegner koordinaten x differentieret ifølge tiden.▼
hvor <math>x,\dot x</math> er hhv. partiklens position og hastighed, er bevægelsesligningen givet ved
Lagrangian'en er i dette tilfælde:▼
<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} - \frac{\partial L}{\partial \dot x} = 0, </math>
der ved at evaluere de [[partiel afledt|partielle afledede]] vil give en [[differentialligning]] for partiklens position. Denne ligning er ækvivalent med [[Newtons anden lov]].
Systemer i højere dimensioner eller med flere partikler vil generelt give et system af koblede differentialligninger.
== Eksempler ==
=== Konstant acceleration ===
▲Som et simpelt eksempel kan tages Lagrangian'en for en punktformet [[masse]], der foretager et fald i et konstant [[
<math> V = m g x, </math>
▲hvor m beskriver massens størrelse, g er 9.82 m/s (
<math>T = \frac{1}{2} m \dot x^2,</math>
▲hvor
<math>L = T-V = \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - mgx.</math>
Ved at anvende Euler-Lagrange-ligningen
<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} - \frac{\partial L}{\partial \dot x} = 0, </math>
hvor de partielle afledte er
<math> \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x \;\; , \;\; \frac{\partial L}{\partial x} = -mg</math>
fås
<math> m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg, </math>
der er [[Newtons anden lov]] for bevægelse med konstant acceleration.
[[Kategori:Fysik]]
|