Potensrække: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
→Eksempler: Negative eksponenter tillades ikke i potensrækker - f.eks. betragtes rækken ... som en potensrække -> ... ikke som en potensrække [?] |
Pred (diskussion | bidrag) Tilføjede afsnit om konvergensradius |
||
Linje 27:
Negative eksponenter tillades ikke i potensrækker - f.eks. betragtes rækken <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math> ikke som en potensrække (selv om det er en [[Laurentrække]]). På samme måde tillades ikke brøkeksponenter som f.eks. <math>x^{1/2}</math> (se [[Puiseuxrække]]). Koefficienterne <math>a_n</math> må ikke afhænge af <math>x</math>, så
:<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math> er f.eks. '''ikke''' en potensrække.
==Konvergensradius==
En potensrække vil [[konvergens|konvergere]] for bestemte værdier af variablen ''x'' (mindst for ''x'' = ''c''), og kan divergere for andre. Der findes altid et tal ''r'' med 0 ≤ ''r'' ≤ ∞ sådan, at rækken konvergerer, når |''x'' − ''c''| < ''r'' og divergerer, når |''x'' − ''c''| > ''r''. Tallet ''r'' kaldes rækkens '''[[konvergensradius]]'''; generelt er den givet ved
:<math>r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math>
eller, ækvivalent,
<math>r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}</math>
(se [[limes superior og limes inferior]]). En lettere måde at beregne den, er
:<math>r=\lim_{n\to\infty}\left|{a_n \over a_{n+1}}\right|,</math>
hvis denne grænse eksisterer.
Rækken [[absolut konvergens|konvergerer absolut]] for |''x'' - ''c''| < ''r'', og den [[uniform konvergens|konvergerer uniformt]] på enhver [[Mængde|lukket og begrænset delmængde]] af <math>\{x \mid |x-c|<r\}.</math>
For |''x'' - ''c''| = ''r'' er det ikke muligt at lave et generelt udsagn om, hvorvidt rækken konvergerer eller divergerer. Dog siger [[Abels sætning]], at rækkens sum er kontinuert i ''x'', hvis rækken konvergerer i ''x''.
[[Kategori:Matematik]]
| |||