Versionen fra 2. sep. 2013, 17:38 redigér Dnillaw (diskussion \| bidrag) 11 edits mNo edit summary ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 8. sep. 2013, 15:53 redigér fjern redigering MFJoergen (diskussion \| bidrag) 34 edits m Kosmetiske ændringer. Gå til næste forskel →
Linje 1: [[Fil:Quadratic equation coefficients.png\|thumb\|400px\|Illustration af et andengradspolynomium og effekten af at ændre konstanterne ~~<math>~~''a~~</math>~~'',~~<math>~~ ''b~~</math>~~'', og ~~<math>~~''c~~</math>~~''.]] Et '''andengradspolynomium''' er et [[polynomium]], hvori den uafhængige [[variabel]] indgår i op til anden [[Potens (matematik)\|potens]]. Det har altså følgende forskrift: :<math>P_2(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0</math> - hvor <math>P_2(x)</math> er en [[Funktion (matematik)\|funktion]] af den uafhængige variabel ~~<math>~~''x~~</math>~~'', og ~~<math>~~''a~~</math>~~'', ~~<math>~~''b~~</math>~~'' og ~~<math>~~''c~~</math>~~'' er [[reelt tal\|reelle]] [[konstant]]er. Det er nødvendigt at ~~<math>~~''a~~</math>~~'' er forskellig fra nul, da der ellers ville være tale om et [[førstegradspolynomium]], også kaldet [[linjens ligning]]. == Sammenhæng mellem forskrift og graf == Andengradspolynomiets grafiske billede er en [[parabel]] med et toppunkt, som enten et er ~~maksimum~~et minimum eller et ~~minimum~~maksimum, afhængig af om parablens grene (eller ben) vender opad eller nedad (da man kan se parablens grene som værende en mund, kalder man til tider parablen for henholdsvis en glad/konveks eller en sur/konkav parabel). Det hænger sammen med værdien af <math>a</math>, idet en negativ <math>a</math> vil give en konkav/sur parabel, mens en positiv <math>a</math> vil give en konveks/glad parabel. Ved at betragte forskriften for andengradspolynomiet kan der bemærkes flere ting om det grafiske billede. Størrelsen på <math>a</math> angiver hvor stejl grafen er (jo større <math>a</math>, desto stejlere graf) og fortegnet for <math>a</math> fortæller om grafens grene vender op- eller nedad. En parabel med negativt fortegn foran både <math>a</math> og [[diskriminant]]en har derfor ingen løsningsmængde for <math>y = 0</math>, idet den ligger under ''x''-aksen med nedadvendte grene. Det samme gælder hvis <math>a>0</math> og <math>d<0</math>. Linje 22: [[Fil:Polynomialdeg2.svg\|thumb\|right\|200px\|<math>x</math>-værdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet <math>P_2(x)=x^2-x-2</math> skærer <math>x</math>-aksen er <math>x=-1</math> og <math>x=2</math>, hvilket er løsninger til andegradsligningen <math>x^2-x-2=0</math>]] Polynomiets skæring med <math>x</math>-aksen i et [[kartesisk koordinatsystem]], ofte også kaldet polynomiets [[rod\|rødder]] eller nulpunkter, er de <math>x</math>-værdier som løser andengradsligningen: :<math>~~P_2(x)~~ax^2 + bx + c = 0\,\!</math> Når man finder løsning(er) til en andengradsligning, leder man således efter de værdier af <math>x</math> hvor andengradslignings <math>y</math>-værdi(er) lig med <math>0</math>. Derfor kalder man også løsninger til andengradsligningen for nulpunkter. Linje 76: == Toppunkt == Grafen for et andengradspolynomium har altid et toppunkt, og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel: :<math> T_p = \left (-\frac {b}{2a}; -\frac {D}{4a} \right) </math> hvor ''D'' er diskriminanten. Toppunktet vil enten være et minimum eller et maksimum, afhængig af, om konstanten ''a'' er positiv eller negativ. === Udledning af toppunktet === For at finde koordinaterne for toppunktet i et andengradspolynomium, skal man finde nulpunktet for dets [[differentialkvotient]]. Da differentialkvotienten for et andengradspolynomium altid vil være et [[førstegradspolynomium]], vil der være netop én rod.

Andengradspolynomium: Forskelle mellem versioner