Potens (matematik): Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m Erstatter siden med 'The cake is a lie' |
Pugilist (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved Christian Giersing, fjerner ændringer fra RasmusNaru (diskussion | bidrag) |
||
Linje 1:
{{harflertydig2|Potens}}
Indenfor [[matematik]] er '''potens''', eller '''potensopløftning''' en regneoperation på linje med [[addition]], [[subtraktion]], [[multiplikation]] og [[Division (matematik)|division]]. Der findes to forskellige definitioner på hvordan en potensopløftning udføres, og ifølge den enkleste af disse er en potens produktet af det samme tal, <math>x</math>, gentaget <math>y</math> gange, altså:<br />
:<math>\begin{matrix} x^y = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x } \\ x \mbox{ gentaget }y\mbox{ gange} \end{matrix}</math>
hvor <math>x</math> omtales som ''roden'', ''basen'' eller ''grundtallet'', og <math>y</math> kaldes for ''potenseksponenten'' eller bare ''eksponenten''.
== Notation ==
Skrivemåden <math> x^y</math> læses som <math>x</math>'' i ''<math>y</math>'' 'ende potens'', dvs. grundtallet <math>x</math> siges som et mængdetal, mens eksponenten <math>y</math> siges som et ordenstal. For eksempel:
* '''7<sup>4</sup>''' læses '''Syv i fjerde potens''' (eller blot '''Syv i fjerde'''), og det beregenes som '''7·7·7·7 = 2401'''.
* '''2<sup>3</sup>''' læses '''To i tredje potens''', eller '''To i tredje''', og beregnes sådan her: '''2·2·2 = 8'''.
* '''21<sup>0</sup>''' læses '''Enogtyve i nulte potens''' og er lig med '''1'''. Dette kan f.eks. udledes som 21<sup>1</sup>*21<sup>-1</sup>=<math>\frac{21}{21}</math>=1.
* '''3<sup>3</sup>''' = '''3·3·3 = 27'''
* '''4<sup>3</sup>''' = '''4·4·4 = 64'''
* '''5<sup>3</sup>''' = '''5·5·5 = 125'''
* '''6<sup>3</sup>''' = '''6·6·6 = 216'''
* '''7<sup>3</sup>''' = '''7·7·7 = 343'''
* '''8<sup>3</sup>''' = '''8·8·8 = 512'''
* '''9<sup>3</sup>''' = '''9·9·9 = 729'''
* '''11<sup>3</sup>''' = '''11·11·11 = 1331'''
* '''12<sup>3</sup>''' = '''12·12·12 = 1728'''
På [[computer]]e bruger man i visse situationer en lidt anden skrivemåde, fordi skrivemåden med eksponenten i superscript ("hævet tekst") er utilgængelig eller besværlig at bruge: I f.eks. [[programmeringssprog]] og [[regneark]] skrives regneoperationen <math>x^y</math> som '''x^y''', '''x↑y''' eller '''x**y'''.
== Matematisk definition ==
Der findes to forskellige definitioner på hvordan man beregner <math>x^y</math>: Den definition der er nævnt i indledningen gælder i sig selv kun for en positiv heltallig eksponent <math>y</math>, men den kan "udbygges" til at gælde for alle heltallige eksponenter, inklusiv 0 og negative tal, og den gælder for ethvert [[Reelle tal|reelt]] grundtal <math>x</math>.
Den anden metode involverer den [[Naturlig eksponentialfunktion|naturlige eksponentialfunktion]] og den [[Naturlig logaritme|naturlige logaritme]], som [[infinitesimalregning]]en fastlægger en definition på: Den gør det muligt at beregne en potens <math>x^y</math> hvor grundtallet <math>x</math> kan være ethvert positivt [[Reelle tal|reelt tal]], og eksponenten <math>y</math> ethvert reelt tal. Til gengæld slår denne metode fejl hvis man prøver at bruge den i situationer hvor grundtallet <math>x</math> er et negativt tal.
Tilsammen fastlægger disse to definitioner hvordan man beregner <math>x^y</math> så længe ''enten'' grundtallet <math>x</math> ikke er negativt, ''eller'' eksponenten <math>y</math> er et helt tal.
=== Potenser med heltallige eksponenter ===
Så længe eksponenten er et positivt [[heltal]], gælder den beskrivelse der er nævnt i indledningen, og denne regneoperation kan man udføre på enhver værdi af roden <math>x</math>. Hvis <math>x</math> er negativ, gælder i øvrigt, at når eksponenten <math>y</math> er lige, bliver <math>x^y</math> et positivt tal, mens ulige rodeksponenter giver et negativt tal.
Hvis man [[Multiplikation|multiplicerer]] ("ganger") et tal med 1, får man tallet selv: Man kan altså uden videre skrive definitionen fra indledningen om til<br />
:<math>\begin{matrix} x^y = 1 \cdot \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x } \\ x \mbox{ gentaget }y\mbox{ gange} \end{matrix}</math>
Nu giver det mening at tale om potenser med eksponenten <math>y = 0</math>; hvis man undlader at multiplicere med <math>x</math> (eller: "gør det nul gange"), er blot éttallet tilbage. Deraf følger, at<br />
:<math>x^0 = 1</math> for alle værdier af <math>x</math>.
Når man beregner <math>x^y = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x</math>, får man mellemresultater der er stigende eksponenter af <math>x</math> for hver gang man multiplicerer med <math>x</math>. Omvendt kan man "fortryde" en multiplikation med <math>x</math> ved at dividere med <math>x</math> og derved reducere mellemresultatets potenseksponent med 1. Denne "fortrydelsesret" kan udnyttes til at udvide definitionen til også at omfatte negative heltal:<br />
:<math>x^{-y} = \frac{1}{\begin{matrix}\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x } \\ x \mbox{ gentaget }y\mbox{ gange} \end{matrix}}</math>
=== Potenser med reelle eksponenter ===
Ved hjælp af infinitesimalregningen kan man fastlægge én ganske bestemt [[eksponentiel funktion]]; den såkaldte naturlige eksponentialfunktion, <math>e^y</math>, hvor ''[[e (tal)|e]]'' er en [[matematisk konstant]]. Den gør det i første omgang muligt at beregne en potens med grundtallet <math>e</math> og ''ethvert'' reelt tal <math>x</math>.<br />
Tilsvarende definerer infinitesimalregningen den [[Invers funktion|inverse funktion]] til <math>e^y</math>, nemlig den naturlige logaritme, og ved hjælp af disse to funktioner kan man definere potensen <math>x^y</math> for ethvert positivt, reelt grundtal <math>x</math> og enhver reel eksponent <math>y</math>:<br />
:<math>x^y = e^{y \cdot \ln x}</math>
Bemærk at der ikke direkte findes funktionsforskrift for den naturlige logaritme og eksponentialfunktion; en formel der giver et eksakt svar på hvad <math>e^y</math> er for en given eksponent <math>y</math>. Computere og [[lommeregner]]e bruger [[taylorpolynomium|taylorpolynomier]] og andre metoder til at finde en tilnærmet værdi når de skal regne med disse to funktioner.
== Regneregler for potenser ==
Af definitionerne kan man udlede de 5 potensregler, som bl.a. kan bruges ved løsning af [[ligning]]er. Som udgangspunkt gælder potensreglerne kun for positive grundtal.
# <math>x^a \cdot x^b = x^{a+b}</math>
# <math>\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}</math>
# <math>x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a</math>
# <math>\frac{x^a} {y^a} = \left(\frac{x}{y}\right)^a</math>
# <math>(x^y)^z = x^{(y \cdot z)}</math>
Ud over de 5 potensregler gælder der et antal regler i forbindelse med logaritme og rod.
[[Logaritmen]] til en potens kan skrives som produktet af eksponenten og logaritmen til grundtallet i potensen. Dette gælder helt uanset logaritmens grundtal:
* <math>\log (x^y) = y \cdot \log x</math>
[[Kvadratrod]]en, [[kubikrod]]en og mere generelt "den n'te rod" af et tal kan beskrives som potensopløftninger, idet
* <math>\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}</math>
* <math>\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}</math>
* <math>\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}</math>
* <math>\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}</math>
== Se også ==
[[Fakultet (matematik)]], [[Toerpotens]]
[[Kategori:Matematik]]
{{Link GA|en}}
{{Link FA|he}}
| |||