Undvigelseshastighed: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Inc (diskussion | bidrag) →Udledning af formlen: Lille notationsændring der forkorter udledningen. |
m Rettet småting i matematik-formateringen. |
||
Linje 6:
== Beregning ==
Størrelsen <math>v_{\text{esc}}</math>, der altså er den hastighed, et objekt skal have for at undslippe tyngdekraften fra et himmellegeme, afhænger af legemets masse <math>M</math> og afstanden <math>r</math> til dets [[massemidtpunkt]]. Der gælder, at:<br />
:<math>v_{\text{esc}}=\sqrt{2 \cdot \frac{G \cdot M}{r}}</math><br />
hvor ''G'' er [[den universelle gravitationskonstant]]. Det ses, at undvigelseshastigheden er uafhængig af massen af det, der skal undvige.
[[Rumfartøj]]er der skal forlade Jorden helt, bliver som regel først anbragt i en ''parkeringsbane'' omkring Jorden, før de igen starter deres [[raketmotor]]er og [[Acceleration|accelererer]] til op over undvidelseshastigheden. Den hastighed <math>v_o</math> som fartøjet skal have for at opretholde den cirkelformede parkeringsbane, står i et bestemt fohold til undvigelseshastigheden, idet:<br />
:<math>v_{\text{esc}} = \sqrt{2} \cdot v_o </math>{{kilde mangler|dato=Uge 44, 2012}}<br />
Når fartøjet forlader parkeringsbanen, skal det øge farten med ca. 41,4% – dette forhold er helt konstant; det gælder for alle objekter i cirkulære parkeringsbaner om en hvilken som helst [[planet]] eller [[stjerne]].
Linje 18:
== Udledning af formlen==
Formlen for undvigelseshastigheden kan udledes matematisk. Når et legeme <math>P</math> skal bevæge sig væk fra et himmellegemes tyngdefelt, må det gælde, at det i forhold til himmellegemets massemidtpunkt skal bevæge sig fra dets startafstand <math>r</math> til den afstand, hvor tyngdefeltet slutter. Den afstand kan benævnes <math>r_2</math>. Dvs. at den potentielle energi vil ændre sig med størrelsen <math> \Delta U</math>; den potentielle energiændring er givet ved tyngdekraften <math>F_g</math> gange distanceændringen eller mere præcist ved arealet under grafen som funktion af distancen <math>r</math>. Dvs. at det [[Bestemt integral|bestemte integral]] for tyngdekraften i intervallet <math>r</math> til <math>r_2</math> skal findes:
:<math> \Delta U=\int_{r}^{r_2} \! F_g(r)
Tyngdekraften som funktion af distancen er givet ved
:<math>F_g(r)=\frac{GMm}{r^2}</math>,
hvor <math>G</math> er [[den universelle gravitationskonstant]], <math>M</math> er himmellegemets masse, og <math>m</math> er massen af <math>P</math>.
Det bestemte integral bliver altså:
:<math> \Delta U=\int_{r}^{r_2} \! \frac{GMm}{r^2}
Det ubestemte integral findes, og værdierne sættes ind
:<math> \Delta U =- \frac{GMm}{r_2}-(-\frac{GMm}{r} )= \frac{GMm}{r}-\frac{GMm}{r_2} </math>
Linje 29:
:<math> \Delta U=\frac{GMm}{r}</math>
Man har nu et udtryk for ændringen i potentiel energi, når et legeme forlader et tyngdefelt. Ved total energibevarelse, dvs. at der fx ikke er luftmodstand, vil ændringen modsvares af en minimum lige så stor negativ ændring i kinetisk energi <math>\Delta K</math>. Den kinetiske energi er givet ved en halv gange massen gange kvadratet af starthastigheden, der er lig undvigelseshastigheden eller højere. Ved minimumhastighed skal det altså være:
:<math> \Delta K=-\frac{1}{2}mv_{\text{esc}}^2</math>
Det skal gælde, at
:<math> 0=\Delta U+\Delta K=\frac{GMm}{r}+(-\frac{1}{2}mv_{\text{esc}}^2)=\frac{GMm}{r}-\frac{1}{2}mv_{\text{esc}}^2</math>
Af denne ligning kan man finde et udtryk for undvigelseshastigheden. Først trækkes den kinetiske energiændring fra på begge sider, og der deles med massen af <math>P</math> på begge sider:
:<math> \frac{1}{2}v_{\text{esc}}^2=\frac{GM}{r}</math>
Man ganger nu med 2 og tager kvadratroden:
:<math> v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}</math>
Man har nu netop den beskrevne formel; undvigelseshastigheden er lig kvadratroden af 2 gange den universelle gravitationskonstant gange himmellegemets masse over afstanden til himmellegemets massemidtpunkt.
Linje 50:
:<math>v_o^2 =\frac{GM}{r} \Rightarrow v_0=\sqrt{\frac{GM}{r}}</math>
Hvis nu udtrykket for undvigelseshastighed omskrives end smule
:<math>v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2\frac{GM}{r}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{GM}{r}}</math>,
kan man indsætte <math>v_o</math>:
:<math>v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{GM}{r}} \Rightarrow v_{\text{esc}} = \sqrt{2} \cdot v_o</math>
Som forventet er forholdet mellem undvigelseshastighed og omløbshastighed altså kvadratroden af 2. Forholdstallet er altså højere end 1, og det giver da også mening, at hastigheden for at undvige tyngdekraften skal være højere end hastigheden for blot at være i kredsløb.
| |||