Det gyldne snit: Forskelle mellem versioner

'''Det gyldne snit''' handler om at opdele et [[linjestykke]] i to stykker, således at forholdet mellem det største og det mindste stykke er lig med forholdet mellem hele linjestykket og det største. På figuren til højre opdeles linjestykket ''AB'' i ''det gyldne snit'' i punktet ''s''. Det gyldne snit optræder i mange geometriske figurer, bl.a. i et [[pentagram]] og en [[logaritmisk spiral]]). Desuden dukker det op mange steder i naturen i forbindelse med [[Fibonaccital]]lene.

 

'''Det gyldne snit''' kendes også som ''det guddommelige snit/forhold'' og er anvendt mange steder i kunsthistorien, bl.a. er der forsket i det af [[Leonardo da Vinci]], der forsøgte at påvise, at det gyldne snit ligger til grund for fx menneskets proportioner. Han lavede en version af ''[[Homo Vitruvianus|den vitruvianske mand, Den menneskelige figurs proportioner]]'' (som nok er den mest berømte af Leonardo da Vincis tegninger) for at anskueliggøre sin [[hypotese]]. Dette bliver dog draget i tvivl.<ref name = "MAA">[http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html maa.org] ''The Myth That Will Not Go Away''</ref>

 

Med tal betyder dette at 1,6180² &asymp; 2,6180.

 

Det gyldne snit kan også foretages symmetrisk, som man ser på figuren til højre, hvor både S og T deler AB i det gyldne snit. Afstanden |ST| vil herved blive ''a-b''. Det viser sig, at T også er det punkt, der deler liniestykket AS i det gyldne snit. Hvis vi antager, at det gælder, ser betingelsen nemlig sådan ud:

:<math>\frac{b}{a-b} = \frac{a}{b}</math>

== Pentagrammet og beslægtede figurer ==

[[Fil:Pentagram with pentagon.png|120px|left]]

Et af stederne, hvor det gyldne snit optræder, er i en regulær ''femtakket'' stjerne, et [[pentagram]]. En sådan ses på på figuren til venstre omskrevet af en regulær femkant, en pentagon. Til højre er desuden indtegnet den omskrevne cirkel, og alle relevante vinkler er indtegnet. De fem vinkelbuer vil alle være på 360&deg;/5&nbsp;=&nbsp;72&deg;. Derfor er den spidse vinkel på en ''tak'' og dens to nabovinkler alle 72&deg;/2&nbsp;=&nbsp;36&deg;. Den spidsvinklede trekant i ''takken'' er ligebenet, så de to andre vinkler i trekanten vil være (180&deg;-36&deg;)/2&nbsp;=&nbsp;72&deg;. De stumpe vinkler ved siden af disse vinkler vil være 180&deg;-72&deg;&nbsp;=&nbsp;108&deg;.

 

=== Det gyldne snit i pentagrammet ===

På figuren til venstre har vi nu indført sidelængden ''a'' som længden på en tak og ''b'' som sidelængden på femkanten i midten af pentagrammet. Det viser sig at forholdet ''a/b'' netop er det gyldne snit.

{{stub-afsnit}}

 

Phi har relation til [[Fibonacci-tal|fibonaccitalfølgen]] (1 1 2 3 5 8 13 21 osv.), fordi [[kvotient]]en af to naboelementer gradvist nærmer sig (konvergerer mod) tallet phi. Jo højere værdi, to naboelementer har, des mere nøjagtigt vil deres kvotient beskrive phi, og hvis naboelementernes værdi er 987 eller højere, vil unøjagtigheden være mindre end ±0,00001.

 

 

== Se også ==

* [[Den gyldne ellipse]]

* [[Gyldent rektangel]]