Forskel mellem versioner af "Model (matematik)"

158 bytes tilføjet ,  for 5 år siden
m
ingen ændringskommentar
m
Prisen stiger lineært med antal kørte kilometer. For hver kørt kilometer bliver prisen p kroner dyrere. Begyndelsesprisen er g kroner. Funktionen taxa_pris(x) er derfor:
<p>
<i><center>taxa_pris(x) = p*x + g hvor 0 < x </center></i>
<p><p>
Man har også lavet en idealisering ved at sige, at prisen vokser lineært med det kørte kilometertal. Man har fraregnet at de kørte minutter også påvirker prisen og nattakst samt brug af cykelstativ er heller ikke medtaget.
Det første spørgsmål er: Hvad koster en tur på 43 km? For det første skal man bemærke, at de 43 km ligger inden for den definitionsmængde, som er opstillet for modellen. Man kan så sætte x=43 km og beregne taxa_pris(43).
<p>
<i><center> Taxa_pris(43) = 17*43 + 48 = 779
</center>
</i><p>
Det andet spørgsmål lyder: Hvor langt kan man køre for 453 kroner? I dette tilfælde svarer det til, at man kender modellens y-værdi eller funktionsværdi og man vil gerne undersøge hvilket x, der kan sættes ind i funktionen, så det giver 453. Man ønsker derfor at løse ligningen:
<p>
<i><center> Taxa_pris(x) = 453 eller 17x + 48 = 453
</i> </center>
<p>Ved at løse den findes at x = 23,284
<p>
De to resultater man har fundet (altså taxa_pris(43) = 779 og x = 23,284) er matematiske resultater. De skal oversættes til et sprog, som svarer til virkelighedens sprog. Og som derfor er svar på de problemer, som man startede med. I dette eksempel kunne det være:
<p>
 
Det koster 779 kroner at køre 43 km.
<pol>
<p>Man kan køre 23,284 km for 453 kroner.
 
<p>
<li>Det koster 779 kroner at køre 43 km.
</li>
 
<pli>Man kan køre 23,284 km for 453 kroner.
 
</li>
 
</ol>
 
 
 
 
<p><p>
=== <b> Eksempel 2: Længden af en gedde</b> ===
<p>Dette eksempel er inspireret af www.dfu.min.dk/fiskepleje
</b><p><p>Tallene L, v og p skal bestemmes for at kunne foretage beregninger på modellen. Dette kaldes for estimering af modellens parametre. I denne situation vil biologerne i praksis tage ud til åen og fange et antal gedder. Herefter måles fiskenes alder og deres længde, og der laves regression på de indsamlede data. Herefter kan for gedder i Skjern Å bestemmes til
<p>
<i><center> L=114,6; v=0,927 og p=0,14
</i> </center>
<p>
Nu kan man foretage beregninger på modellen. For et vurdere om modellen er brugbar i virkeligheden skal man dog sammenligne den med nogle rigtige tal for gedder. Denne proces hedder at verificere modellen. Men det var jo også den måde, som man brugte til at bestemme L, v og p. Derfor er det svært at vurdere modellens validitet. Validiteten bliver dog styrket af, at biologerne har god erfaring for at denne form for vækstmodel ofte kan beskrive dyrs vækst.
<p>
Svarene er
 
<p>gedde_længde(4) = 53,9
<pol>
<p>gedde_længde(t)=35 har løsningen t = 2,06.
 
<p>
<pli>gedde_længde(4) = 53,9
 
</li>
 
<pli>gedde_længde(t)=35 har løsningen t = 2,06.
 
</li>
 
</ol>
 
<p><p><p>
Det er imidlertid svar skrevet i et matematisk sprog. For biologerne er det vigtigt at oversætte de matematiske beregninger til et biologisprog. Så de endelige svar på spørgsmålene er:
<p>
 
En gedde på 4 år i Skjern Å er ca. 54 cm.
<ol>
<p>Og en gedde fra Skjern Å på 35 cm kan anslås at være 2 år gammel.
 
<p>
<li>En gedde på 4 år i Skjern Å er ca. 54 cm.
</li>
 
<pli>Og en gedde fra Skjern Å på 35 cm kan anslås at være 2 år gammel.
 
</li>
 
</ol>
 
 
<p><p>
=== <b> Eksempel 3: Indiske drengebørns højde</b> ===
<p>Dette eksempel er inspireret af http://adoptmed.org/topics/growth-charts.html
Ved at se på målinger og vækstkurver for indiske børns højdeudvikling (http://www.indianpediatrics.net/mar2007/images/recom-4.jpg) kan man se, at i skolealderen 5-15 år er udviklingen (stort set) lineær. Derfor laver man en idealisering og vælger at beskrive væksten ved en lineær funktion:
<p>
<i><center>højde(t) = tilvækst_på_et_år * t + højde_ved_fødsel </center>
</i>
 
<p>
Det er en idealisering at vælge en lineær funktion, men den usikkerhed tager man med i forhold til hvor praktisk den er at regne med.
</b><p>For at kunne lave beregninger på min model skal man have bestem de to parametre tilvækst_på_et_år og højde_ved_fødsel. Parametrene skal estimeres. Ved at lave en lineær regression på data (Mange detaljer her: http://adoptmed.org/topics/growth-charts.html), der findes i materialet kan man fastlægge parametrene:
<p>
<center><i> tilvækst_på_et_år = 5,5 cm<p>
</center>
<center> højde_ved_fødsel = 79,5 cm
</center></i>
<p>
Den kvikke læser studser naturligvis over højden ved fødsel som næsten 80 cm. Dette passer ikke med vores opfattelse af, at børn er betydeligt lavere, når de bliver født. Men her skal man huske, at vores model kun er ”bygget” til at kunne bruges på skolebørn. Dvs. i alderen 5-15 år. Man kan derfor ikke bruge modellen til at beregne højden ved t=0 svarende til højden ved fødsel. Modellen kan derfor beskrives matematisk som:
15

redigeringer