Uendelighed: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m Bot: Fjerner {{Link FA}} da Wikidata nu bruges i stedet for. |
Kommatering |
||
Linje 8:
Den tidligste kendte ide om uendeligheder kommer fra [[Anaximander]], en [[Førsokratikere|førsokratiker]] fra byen [[Milet]]. Han brugte ordet, ἄπειρον, som betyder endeløst<ref>Wallace 2004, s. 44</ref>. Den første matematiske forståelse af uendelighed kommer fra [[Zenon fra Elea]]. Zenon fra Elea er bedst kendt for hans paradokser om uendelighed (se [[Zenons paradoks]]), disse er dog ikke længere opfattet som paradokser, da man i dag ved at man kan summerer en uendelig række til en endelig værdi.
[[Euclides da Cunha|Euclid]] (som bevidste at der er uendelig mange primtal) sagde ikke at der var uendelig mange primtal, men istedet at der er flere primtal, end der er indeholdt i en givet samling af tal.<ref>Elementerne, Bog IX.</ref>
=== De tidlige indere ===
I den matematiske, indiske tekst, Surya Prajnapti (3.-4. år efter Kristus), klassificeres alle tal i grupperne: Tallige, utallige og uendelige.
=== Symbolet for uendelighed ===
Linje 31:
F.eks. forestil dig mængden af de [[naturlige tal]] (ℕ) og mængden af [[kvadrattal]]. Der eksisterer en [[bijektion]] fra de naturlige tal til kvadrattalene: f(x)=x², da for ethvert element i ℕ findes der et tilsvarende element i kvadrattalene (f(n)=n²), samtidigt med at kvadrattalene er ægte delmængde af de naturlige tal. Derfor er antallet af naturlige tal uendeligt.
Denne definition blev udviklet af [[Georg Cantor]], som løsning på [[Galileos paradoks]] (beviset af at der er lige så mange naturlige tal som kvadrattal)<ref>[http://www.hanshuttel.dk/wordpress/wp-content/uploads/2011/10/paradokser.pdf Hans Hüttle: Et katalog over paradokser]</ref>. Denne definition er mærkelig, da kardinalitet normalt forstås som størrelsen af en mængde (pga. det er lig antallet af elementer i en endelig mængde, derfor "antages" det at det også er i uendelige mængder), og det vil være rationelt at sige, at den ægte delmængde af en mængden er mindre end selve mængden, men dette gælder kun for endelige mængder, en måde dette fænomen kan forklares på er ved at sige, at der altid vil eksistere en ægte delmængde, som kun er et endeligt antal elementer mindre end den oprindelige mængde (f.eks. en del mængde, hvor kun et element er fjernet), og da et endeligt tal er uendeligt småt i forhold til en uendelighed, har dette ingen betydning (lim<sub>u→∞</sub>u-n = lim<sub>u→∞</sub>u) og mængden vil stadig have samme størelse.
I mængdelæren taler man om [[Tællelighed|tællelige]] og [[Overtællelig|overtællelige]] mængder. En tællelig mængde er en mængde, som har samme kardinalitet som de naturlige tals mængde, og en overtællelig mængde er en mængde med højere kardinalitet. Eksempler på tællelige mængder er [[Naturlige tal|de naturlige tal]], [[Rationelle tal|de rationelle tal]], [[primtal|primtalene]] og [[Beregnelige tal|de beregnelige tal]]. Eksempler på overtællelige mængder er [[de reelle tal]], [[Russels paradoks|Russells mængde]] (fra Russells paradoks), [[irrationelle tal]] og ethvert [[Interval (matematik)|interval]] af reelle tal.
| |||