|
[[Fil:Mandelpart2.jpg||thumb|300px|En matematisk [[fraktal]].]]
'''Matematik''' (fra [[oldgræsk]] μάθημα, ''máthēma'': det jeg lærte, at lære<ref name="Liddell & Scott">Liddell, H.G. & Scott, R. (1940). ''A Greek-English Lexicon. revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones. with the assistance of. Roderick McKenzie.'' Oxford: Clarendon Press.</ref>; μαθηματικός ''mathēmatikós'': glad for at lære<ref name="Liddell & Scott"/>) er studiet af mønstre i mængde, struktur, ændringer og rummet.
== Definition ==
Matematikken er en [[deduktion|deduktiv]] og abstrakt videnskab, som bygger på [[logik|logiske]] metoder. I den moderne definition er det undersøgelsen af [[aksiom]]atisk definerede abstrakte strukturer ved brug af [[logik]], som er det fælles udgangspunkt. De specifikke strukturer, der undersøges, har ofte deres udgangspunkt i [[naturvidenskab]]en, oftest i [[fysik]]ken. Men i modsætning til naturvidenskaben beskriver matematikken en uvirkelig ideel verden, hvor for eksempel rette eller parallelle linjer findes modsat den virkelige verden. Matematikere definerer og undersøger også strukturer udelukkende af hensyn til matematikkens udvikling af egene regler, for eksempel fordi de finder ud af, at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj, der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.
== Historie ==
{{Uddybende|Matematikkens historie}}
Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige [[astronomi]]ske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling af matematikken i studiet af struktur, rum og ændring.
== Strukturer ==
Studiet af struktur starter med [[tal]]lene, i begyndelsen de velkendte [[naturlige tal]] og [[heltal]]lene. De regler, der gælder for aritmetiske operationer, er optegnet i [[elementær algebra]], og de dybere egenskaber ved heltallene studeres i [[talteori]]en. Undersøgelsen af metoder til at løse ligninger fører til studiet af [[abstrakt algebra]]. Det for fysikerne vigtige begreb [[vektor (matematik)|vektorer]], der er generaliseret til [[vektorrum]]met og studeret i [[lineær algebra]], tilhører de to grene struktur og rum.
== Geometri ==
Studiet af rummet starter med studiet af [[geometri]], først den [[euklidisk geometri|euklidiske geometri]] og [[trigonometri]] i det sædvanlige tredimensionale rum, men senere også generaliseret til [[ikke-euklidisk geometri]] som spiller en central rolle i den [[generelle relativitetsteori]]. De moderne områder [[differentialgeometri]] og [[algebraisk geometri]] generaliserer geometri i forskellige retninger: differentialgeometri fremhæver begreberne [[koordinatsystem]]er, glathed og retning, mens geometriske objekter i algebraisk geometri beskrives som løsninger til et sæt af ligninger. [[Gruppeteori]] undersøger på en abstrakt måde begrebet geometri og giver en sammenhæng mellem studiet af rum og struktur. [[Topologi]] giver en sammenhæng mellem studiet af rum og studiet af ændring ved at fokusere på begrebet [[kontinuitet]].
== Infinitesimalregning ==
At forstå og beskrive ændringer i målelige størrelser er det centrale emne i naturvidenskab, og [[infinitesimalregning]]en er udviklet som et særdeles brugbart værktøj til at gøre præcis det. Det centrale begreb, man bruger til at beskrive en variabel, der ændrer sig, er en [[funktion (matematik)|funktion]]. Mange problemer leder helt naturligt til relationen mellem mængde og størrelsen af dens ændring, og metoderne til at løse disse er studeret i emnet [[differentialligninger]]. Tallene, man bruger til at repræsentere kontinuerlige mængder, er de [[reelle tal]], og det detaljerede studium af deres egenskaber er kendt som [[reel analyse]]. Af forskellige årsager er det bekvemt at generalisere til [[komplekse tal]], som studeres i en [[kompleks analyse]]. [[Funktionalanalyse]] fokuserer på et (typisk uendeligt-dimensionalt) rum af funktioner, som danner basis for blandt andet [[kvantemekanik]].
== Computernes indflydelse ==
For at tydeliggøre og undersøge matematikkens fundament udviklede man områderne [[mængdeteori]], [[matematisk logik]] og [[modelteori]].
Da [[computer]]e i sin tid blev opfundet, blev flere omkringliggende problemer tacklet af matematikere, og det ledte til områderne [[beregnelighed]] og [[informationsteori]]. Mange af disse spørgsmål er nu undersøgt under teoretisk [[datalogi]].
Computere har også hjulpet til ved emner som [[kaosteori]], som handler om at mange [[dynamiske systemer]] i naturen adlyder love, der gør, at deres adfærd bliver uforudsigelig i praksis, selvom det er deterministisk i teorien.
Kaosteori er tæt forbundet med [[fraktal]] geometri.
== Anvendt matematik ==
{{Uddybende|Anvendt matematik}}
Et vigtigt område i anvendt matematik er [[sandsynlighedsregning]], som muliggør beskrivelse, analyse og forudsigelse af tilfældige fænomener og er brugt i alle videnskaber.
[[Numerisk analyse]] undersøger metoder til at udføre beregninger på computer.
Den følgende liste af emner repræsenterer én måde at organisere matematikkens grene på:
== Emneoversigt ==
Herunder følger en detaljeret emneoversigt.
=== Mængde ===
:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>1, 2, \ldots</math> || <math>-1, 0, 1, \ldots</math> || <math>\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots</math> || <math>\pi, e, \sqrt{2},\ldots</math> || <math>i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots</math>
|-
| [[Naturlige tal]]|| [[Heltal]] || [[Rationale tal]] || [[Irrationale tal]] || [[Komplekse tal]]
|}
: [[Tal]] – [[Naturlige tal]] – [[Heltal]] – [[Rationale tal]] – [[Reelle tal]] – [[Komplekse tal]] – [[Kvaternioner]] – [[Okternioner]] – [[Sedenioner]] – [[Hyperreelle tal]] – [[Surreelle tal]] – [[Ordinaltal]] – [[Kardinaltal]] – [[Heltalsfølge]] – [[Matematisk konstant|Matematiske konstanter]] – [[Talnavne]] – [[Uendelig]]
=== Ændring ===
:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>36 \div 9 = 4</math> || [[Fil:Integral as region under curve.png|96px]] || [[Fil:Vectorfield jaredwf.png|96px]] || <math>\int 1_S\,d\mu=\mu(S)</math>
|-
| [[Aritmetik]] || [[Infinitesimalregning]] || [[Vektoranalyse]] || [[Matematisk analyse|Analyse]]
|-
|| <math>\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c</math> || [[Fil:Limitcycle.svg|96px]] || [[Fil:LorenzAttractor.png|96px]]
|-
|| [[Differentialligninger]] || [[Dynamiske systemer]] || [[Kaosteori]]
|}
: [[Infinitesimalregning]] – [[Vektoranalyse]] – [[Matematisk analyse]] – [[Differentialligninger]] – [[Dynamiske systemer]] – [[Kaosteori]] – [[Funktion (matematik)|Funktioner]]
=== Struktur ===
:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[Fil:Cayley graph of F2.svg|128px]] || [[Fil:Elliptic curve simple.png|96px]] || [[Fil:Group diagram d6.svg|96px]]
|-
| [[Abstrakt algebra]] || [[Talteori]] || [[Gruppeteori]]
|-
|| [[Fil:Torus.jpg|96px]] || [[Fil:MorphismComposition-01.png|96px]] || [[Fil:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]]
|-
| [[Topologi]] || [[Kategoriteori]] || [[Ordenteori]]
|}
: [[Abstrakt algebra]] – [[Talteori]] – [[Algebraisk geometri]] – [[Gruppeteori]] – [[Matematisk analyse]] – [[Topologi]] – [[Lineær algebra]] – [[Grafteori]] – [[Universel algebra]] – [[Kategoriteori]]
=== Rum ===
:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[Fil:Torus.jpg|96px]] || [[Fil:Pythagorean.svg|96px]] || [[Fil:Taylorsine.svg|128px]] || [[Fil:Osculating circle.svg|96px]] || [[Fil:Koch curve.svg|96px]]
|-
| [[Topologi]] || [[Geometri]] || [[Trigonometri]] || [[Differentialgeometri]] || [[Fraktal]]geometri
|}
: [[Topologi]] – [[Geometri]] – [[Trigonometri]] – [[Algebraisk geometri]] – [[Differentialgeometri]] – [[Differentiel topologi]] – [[Algebraisk topologi]] – [[Lineær algebra]]
=== Diskret matematik ===
:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>[1,2,3][1,3,2]</math><br /><math>[2,1,3][2,3,1]</math><br /><math>[3,1,2][3,2,1]</math> || [[Fil:Venn A intersect B.svg|96px]] || || [[Fil:Caesar3.svg|96px]] || [[Fil:6n-graf.svg|96px]]
|-
| [[Kombinatorik]] || [[Mængdeteori]] || [[Beregnelighed]] || [[Kryptologi]] || [[Grafteori]]
|}
: [[Kombinatorik]] – [[Mængdeteori]] – [[Sandsynlighedsregning]] – [[Statistik]] – [[Beregnelighed]] – [[Diskret matematik]] – [[Kryptologi]] – [[Grafteori]] – [[Spilteori]]
=== [[Anvendt matematik]] ===
: [[Mekanik]] – [[Numerisk analyse]] – [[Optimering (matematik)|Optimering]] – [[Sandsynlighed]] – [[Statistik]]
== Se også ==
* [[matematisk sætning]]
* [[andengradsligning]] og [[tredjegradsligning]]
* [[matematiker]]
* [[matematisk skønhed]]
* [[Matematikkens historie]]
== Yderligere litteratur ==
* Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: ''The Mathematical Experience''. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. En skånsom introduktion til matematikkens verden.
* Rusin, Dave: ''The Mathematical Atlas'', http://www.math-atlas.org. En tur gennem de forskellige grene i moderne matematik.
* Weisstein, Eric: ''World of Mathematics'', http://www.mathworld.com. En online encyklopædi om matematik.
* ''Planet Math'', http://planetmath.org. En online encyklopædi om matematik under konstruktion. Bruger [[GNU Free Documentation License]], så det tillader importering til Wikipedia. Bruger [[TeX]] markup.
* Mathematical Society of Japan: ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed.'' MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitioner, teoremer og referencer.
* Michiel Hazewinkel (ed.): ''Encyclopaedia of Mathematics''. Kluwer Academic Publishers 2000. En oversat og udvidet version af den sovjetiske matematik encyklopædi, i ti (store) bøger, det mest komplette og autoritative værk der er tilgængeligt. Også som paperback og på CD-ROM.
* Gullberg, Jan: ''Mathematics—From the Birth of Numbers''. W.W. Norton, 1996. Et encyklopædisk overblik over matematikken i et nutidigt og simpelt sprog
==Henvisninger==
{{reflist}}
== Eksterne henvisninger ==
{{Commonskat|Mathematics}}
* [http://www.matematiksider.dk/ matematiksider.dk: For gymnasiet og for matematikinteresserede]
* [http://www.matematik.dnlb.dk/ Fagsiden for Matematik, Københavns Universitetsbibliotek]
* [http://www.tekstud.com/ matematiksider for matematikinteresserede]
* [http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/index.html VUC: MatLex]
* Information
** [http://planetmath.org/ PlanetMath] Citat: "...Math for the people, by the people..."
** [http://www.math-atlas.org/ Mathematical Atlas: A gateway to Mathematics], [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/ alternativ adresse]
** [http://mathworld.wolfram.com/ Wolfram: Eric Weisstein's World of Mathematics]
** [http://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/ Stanford: Principia Mathematica]
** [http://math.furman.edu/~mwoodard/mquot.html Mathematical Quotations Server]
** [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ History of Mathematics archive]
** [http://math.twoday.net/ Mathematische Kleinigkeiten]
** [http://www.research.att.com/~njas/sequences/ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (Look-Up)]
** [http://www.utm.edu/research/primes/ The Prime Pages (prime number research, records and resources)]
** [http://www2.vo.lu/homepages/armand/index.html Aesthetics of the Prime Sequence]
** [http://www.mathpuzzle.com/ MathPuzzle.com]
* [http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/egypt.html Egyptian Mathematics]
* [http://infolink2003.elbo.dk/Naturvidenskab/dokumenter/doc/8484.pdf Torben Braüner: ''Logikkens Muligheder og Grænser''. Aktuel Naturvidenskab, 6, 2006.]
{{Dagens_artikel | dato=11. oktober 2004}}
{{autoritetsdata}}
| 