Forskel mellem versioner af "Potens (matematik)"

894 bytes tilføjet ,  for 6 år siden
m
Gendannelse til seneste version ved Dipsacus fullonum bot, fjerner ændringer fra 46.109.0.151 (diskussion | bidrag)
(ļeng tsmir ļeng ļeng)
m (Gendannelse til seneste version ved Dipsacus fullonum bot, fjerner ændringer fra 46.109.0.151 (diskussion | bidrag))
{{harflertydig2|Potens}}
Indenfor [[matematik]] er '''potens''', eller '''potensopløftning''' en regneoperation på linje med [[addition]], [[subtraktion]], [[multiplikation]] og [[Division (matematik)|division]]. Der findes to forskellige definitioner på hvordan en potensopløftning udføres, og ifølge den enkleste af dļengdisse tsmirer ļengen ļengļengpotens tsmirproduktet ļengaf ļengļengdet tsmirsamme ļengtal, ļeng\underbrace{<math>x \cdot x \cdot \ldots \cdot x } \\ x \mbox{</math>, gentaget }<math>y\mbox{</math> gange}, \end{matrix}altså:<br /math>
:<math>\begin{matrix} x^y = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x } \\ x \mbox{ gentaget }y\mbox{ gange} \end{matrix}</math>
hvor <math>x</math> omtales som ''roden'', ''basen'' eller ''grundtallet'', og <math>y</math> kaldes for ''potenseksponenten'' eller bare ''eksponenten''.ļeng tsmir ļeng ļengses '''Syv i fjerde potens''' (eller blot '''Syv i fjerde'''), og det beregenes som '''7·7·7·7 = 2401'''.
 
== Notation ==
Skrivemåden <math> x^y</math> læses som <math>x</math>'' i ''<math>y</math>'' 'ende potens'', dvs. grundtallet <math>x</math> siges som et mængdetal, mens eksponenten <math>y</math> siges som et ordenstal. For eksempel:
* '''7<sup>4</sup>''' læses '''Syv i fjerde potens''' (eller blot '''Syv i fjerde'''), og det beregenes som '''7·7·7·7 = 2401'''.
* '''2<sup>3</sup>''' læses '''To i tredje potens''', eller '''To i tredje''', og beregnes sådan her: '''2·2·2 = 8'''.
* '''21<sup>0</sup>''' læses '''Enogtyve i nulte potens''' og er lig med '''1'''. Dette kan f.eks. udledes som 21<sup>1</sup>*21<sup>-1</sup>=<math>\frac{21}{21}</math>=1.
* '''7<sup>3</sup>''' = '''7·7·7 = 343'''
* '''8<sup>3</sup>''' = '''8·8·8 = 512'''
* '''9<sup>3</sup>ļeng''' tsmir ļeng ļengller= '''x**y9·9·9 = 729'''.
* '''11<sup>3</sup>''' = '''11·11·11 = 1331'''
* '''12<sup>3</sup>''' = '''12·12·12 = 1728'''
 
På [[computer]]e bruger man i visse situationer en lidt anden skrivemåde, fordi skrivemåden med eksponenten i superscript ("hævet tekst") er utilgængelig eller besværlig at bruge: I f.eks. [[programmeringssprog]] og [[regneark]] skrives regneoperationen <math>x^y</math> som '''x^y''', '''x↑y''' eller '''x**y'''.
 
== Matematisk definition ==
Den anden metode involverer den [[Naturlig eksponentialfunktion|naturlige eksponentialfunktion]] og den [[Naturlig logaritme|naturlige logaritme]], som [[infinitesimalregning]]en fastlægger en definition på: Den gør det muligt at beregne en potens <math>x^y</math> hvor grundtallet <math>x</math> kan være ethvert positivt [[Reelle tal|reelt tal]], og eksponenten <math>y</math> ethvert reelt tal. Til gengæld slår denne metode fejl hvis man prøver at bruge den i situationer hvor grundtallet <math>x</math> er et negativt tal.
 
Tilsammen fastlægger disse to definitioner hvordan man beregner <math>x^y</math> så længe ''enten'' grundtallet <math>x</math> ikke er negativt, ''eller'' eksponenten <math>y</math> er et helt tal.
Tilsammen fastlægger disļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļengļeng tsmir ļeng ļeng
 
=== Potenser med heltallige eksponenter ===
Så længe eksponenten er et positivt [[heltal]], gælder den beskrivelse der er nævnt i indledningen, og denne regneoperation kan man udføre på enhver værdi af roden <math>x</math>. Hvis <math>x</math> er negativ, gælder i øvrigt, at når eksponenten <math>y</math> er lige, bliver <math>x^y</math> et positivt tal, mens ulige rodeksponenter giver et negativt tal.
 
Hvis man [[Multiplikation|multiplicerer]] ("ganger") et tal med 1, får man tallet selv: Man kan altså uden videre skrive definitionen fra indledningen om til<br />
:<math>\begin{matrix} x^y = 1 \cdot \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x } \\ x \mbox{ gentaget }y\mbox{ gange} \end{matrix}</math>
1.606

redigeringer