Forskel mellem versioner af "Det gyldne snit"

22 bytes tilføjet ,  for 6 år siden
→‎Potenser af φ og Fibonacci-tallene: flertydiglinkfix : Induktion (matematik)
m (Bot: Fjerner {{Link GA}} og {{Link FA}} da Wikidata nu bruges i stedet for.)
(→‎Potenser af φ og Fibonacci-tallene: flertydiglinkfix : Induktion (matematik))
:<math>\varphi ^n = F_n \varphi + F_{n-1}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>n \geq 1</math>
 
Sammenhængen gælder helt klart for ''n&nbsp;=&nbsp;1'', for så reduceres sammenhængen til &phi;&nbsp;=&nbsp;&phi;. Når ''n&nbsp;&ge;&nbsp;2'' kan sammenhængen udledes ved [[Induktion (matematik)|induktion]], hvis det antages at ''&phi;<sup>n-1</sup>&nbsp;=&nbsp;F<sub>n-1</sub>&phi;&nbsp;+&nbsp;F<sub>n-2</sub>'':
:<math>\varphi ^n = \varphi \cdot \varphi ^{n-1} = \varphi \cdot (F_{n-1} \varphi + F_{n-2}) = F_{n-1} \varphi ^2 + F_{n-2} \varphi</math>
:::<math>= F_{n-1} (\varphi + 1) + F_{n-2} \varphi = (F_{n-1} + F_{n-2}) \varphi + F_{n-1} = F_n \varphi + F_{n-1}</math>