Versionen fra 30. aug. 2006, 13:46 redigér Mth~dawiki (diskussion \| bidrag) 398 edits m matematisk beskrivelse ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 30. aug. 2006, 21:03 redigér fjern redigering Mth~dawiki (diskussion \| bidrag) 398 edits fysisk beskrivelse Gå til næste forskel →
Linje 4: Hvis man indlægger et sædvanligt [[koordinatsystem]] med origo i centrum af den jævne cirkelbevægelse, er stedkoordinaterne som funktion af tiden til det objekt som udfører bevægelsen givet ved :<math> \vec{r}(t) = {x(t) \choose y(t)} = Rr {\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t) }</math> hvor <math>Rr</math> er radius i cirkelbevægelsen, <math>\omega</math> er vinkelhastigheden, og <math>t</math> er tiden. Det følger heraf at objektet gennemfører et omløb i tiden <math>T\tau = \frac{2\pi}{\omega}</math>. [[Hastighed]]en i den jævne cirkelbevægelse findes ved [[differentiation]] mht. tiden: :<math> \vec{v}(t) ~~= \vec{r}'(t)~~= {v_x(t) \choose v_y(t) } = \vec{r}'(t) = \omega Rr { -\sin(\omega t) \choose \cos(\omega t)}</math> Det fremgår heraf at [[fart]]en i den jævne cirkelbevægelse også er konstant, nemlig <math>Vv = \omega Rr</math>, og at hastigheden står vinkelret på radiusvektor. [[Acceleration]]en i den jævne cirkelbevægelse findes atter ved differentiation mht.tiden: :<math> \vec{a}(yt) = {a_x(t) \choose a_y(t) } = \vec{v}'(t) = \vec{r}''(t) ~~= {a_x(t) \choose a_y(t) }~~ = -\omega^2 Rr {\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t)}</math> Det fremgår heraf at accelerationens størrelse i den jævne cirkelbevægelse også er konstant, nemlig <math>Aa = \omega^2 Rr</math>, og at accelerationen er parallel med radiusvektor og rettet ind mod centrum af bevægelsen. ==Fysisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse== Da farten i en jævn cirkelbevægelse er konstant, er [[bevægelsesmængde]]n det også, men ligesom hastigheden bestandig ændrer retning, gør <math>\vec{p}</math> det også. Der gælder ~~{{natvidstub}}~~ :<math>p = mv = m\omega r</math> hvor <math>m</math> er massen af det objekt som udfører den jævne cirkelbevægelse. Af [[Newtons anden lov]] følger at størrelsen af [[kraft]]en i den jævne cirkelbevægelse er givet ved :<math>F = ma = m\omega^2r</math> Ligesom accelerationsvektoren ændrer kraftvektoren bestandig retning. Den peger hele tiden ind mod centrum af bevægelsen og kaldes derfor [[centripetalkraft]]en. [[Kraftmoment]]et er nul i en jævn cirkelbevægelse. Det følger af at kraftvektoren er parallel med radiusvektor. Derfor er kraftens arm nul. Som konsekvens heraf er [[impulsmoment]]et bevaret. Størrelsen af impulsmomentet er konstant lig :<math>l = rp = m\omega r^2</math> Impulsmomentets retning er bestemt af at radiusvektor, kraftvektoren og impulsmomentvektoren danner en højreskrue. Den [[kinetisk energi\|kinetiske energi]] i en jævn cirkelbevægelse er givet ved :<math>E_\mathrm{kin} = \frac{mv^2}{2} = \frac{m\omega^2 r^2}{2} = \frac{I\omega^2}{2}</math> hvor <math>I = mr^2</math> er [[inertimoment]]et. Af <math>l^2 = m^2\omega^2 r^4</math> følger at den kinetiske energi alternativt kan angives som :<math>E_\mathrm{kin} = \frac{l^2}{2mr^2} = \frac{l^2}{2I}</math>

Jævn cirkelbevægelse: Forskelle mellem versioner