Forskel mellem versioner af "Model (matematik)"

6.301 bytes tilføjet ,  for 5 år siden
m
m (bot:ændrer tag i til tag wiki-syntaks - WPCW fejl 38)
# 50% af indiske drenge på 7 år vil have højden 118 cm eller der under. Forklaringen på denne besværlige formulering på 50% er, at tallene i modellen bygger på median tal for mange indiske drenge. Man kan derfor kun udtale on med en vis usikkerhed.
# For 50% af indiske dreng på 100 cm vil højden svare til en alder på 3,3 år, men resultatet ligger uden for modellens gyldighedsområde, og kan derfor som udgangspunkt ikke bruges.
 
=== Opsamling på de gennemgåede begreber ===
I de ovenstående eksempler har jeg givet nogle konkrete forklaringer på de centrale begreber, der er relevante i arbejdet med matematiske modeller. I dette afsnit vil jeg samle op og give en kort definition på de præsenterede begreber. Det drejer sig om
# '''Variable'''
#* Der indgår to typer i arbejdet med modeller. De variable, der ligger uden for modellens system (''eksogene variable'') og de variable, der bliver bestemt med den matematiske beregning i modellen (''endogene variable''). I andre sammenhænge vil disse variable blive betegnet som ''uafhængige variable'' (eksogene) og ''afhængige variable'' (endogene).
#* I eksemplet med længden af en gedde er t den uafhængige variabel (eksogen) og længden af gedden den afhængige variabel (endogene).
# '''Parametre'''
#* De tal, der ud over modellens variabler, er bestemmende for modellens resultat kaldes ''parametre''. For en bestem model er disse tal konstanter. Og de skal bestemmes før man kan foretage beregninger i modellen.
#* I modellen Pris for en taxa-tur er p (prisen per kilometer) og q (startgebyret) to parametre for modellen. I en anden by og om natten vil disse to parametre sikkert have en anden værdi, men i denne konkret model er p=17 kr/km og q=48kr.
# '''Abstraktion'''
#* I virkelighedens verden er der rigtig mange forhold, der er bestemmende for udviklingen i et system, som vi ønsker at regne på. Det er sjældent muligt at medtage alle disse forhold i beskrivelsen af systemet. Og i modelarbejdet vil vi være nødsaget til at se bort fra forhold, der ikke er interessante eller som vi vurderer har en ubetydelig konsekvens for modellens resultat. Dette betegnes med begrebet ''abstraktion''. Det vi ser bort fra. Abstraktionen er et bevidst valg. Hvis ikke det er bevidst er det fordi vi ikke kender til et bestemt forholds betydning og så er det ikke en abstraktion - så er det uvidenhed.
#* I eksemplet med udviklingen af indiske drengebørns højde er der rigtig mange forhold, der betyder noget for det enkelte barns udvikling og højde (genetiske forhold, opvækst osv.), men i modellen er vi kun interesserede i en gennemsnitsbetragtning, så forholdene for det enkelte barn ser vi bort fra. Det er en abstraktion.
#* I eksemplet med prisen for en taxatur tager vi ikke gebyrer for at få en cykel med taxaen. Det er en abstraktion.
# '''Approksimation og Idealisering'''
#* Når vi skal beskrive virkelighedens verden er naturen ofte kompleks. Og opfører sig ikke helt ens hver gang. En bakteriekoloni kan vokse eksponentielt i en periode og det kan fint beskrives med en eksponentialfunktion, men på lang sigt vil ingen bakteriekultur kunne blive ved med at udvikle sig med eksponentiel hast - den vi mange såvel næring og plads. Men i et givet tidsinterval kan den eksponentielle model være en god tilnærmelse. Her er tale om en ''idealisering'' eller en ''approksimation''.
#* I eksemplet med en geddes længde er der anvendt en logistisk vækstfunktion til at beskrive udviklingen af en gennemsnitsgedde. Og for et stort antal gedder fungerer modellen fint, men for den enkelte gedde er den matematiske model en approksimation eller en ideal-situation.
# '''Modellens gyldighedsområde'''
#* Abstraktionen og idealiseringerne vil som oftest sætte nogle begrænsninger for under hvilke forhold vi kan have tillid til modellen. Der er sitiationer, som modellen ikke er beregnet til at regne på. Dette er afgørende for, hvornår modellen er gyldig.
#* I eksemplet med taxa-prisen er modellens parametre bestem for en almindelig taxatur om dagen og uden cykler. Det vil derfor være uden for ''modellens gyldighedsområde'' at beregne en nattur til København med cykel.
#* I eksemplet med indiske drengebørn er det på grund af den anvendte lineære funktion afgjort, at modellen kun gælder i alderen 5 til 15 år. Det vil derfor være uden for modellens gyldighedsområde at beregne på højden af en 25-årig inder.
# '''Estimering'''
#* Når den matematiske model er opstillet med eksogene variable, endogene variable og parametre og det er tydeliggjort under hvilke forhold modellen er brugbar (modellens gyldighedsområde), skal modellens parametre bestemmes. Ofte vil det foregå parallelt med at modellen opstilles, men modellen for gedders længde vil givet vis også kunne anvendes til at beskrive udviklingen af mange andre dyr - fisk i hvert fald. Men med andre værdier for parametrene. Parametrene skal derfor estimeres præcist for den konkrete model.
#* I modellen for taxa-pris kan man ringe til taxa-selskabet for at få prisen oplyst (estimeret). I eksemplet med de indiske drengebørns vækst på tallene aflæses på vækstkurven og for gedders længde må biologerne ud at fiske og måle. Herefter kan der laves regression på de indfangne geders længde og alder for at estimere parametrene. Estimering er altså at forholde modellen til virkelighedens forhold.
# '''Verifikation'''
#* Når modelarbejdet har nået dette punkt, kan de første beregninger eller analyser foretages. Modellen skal nu sammenlignes med hvordan virkeligheden ser ud. Dette arbejde kaldes ''verifikation''.
#* I eksemplet med gedders længde må biologerne ud at fange nogle flere gedder. Det er ikke godt nok at sammenligne modellens resultatet ved at benytte de samme gedder, som blev brugt til estimeringen. Så har vi kun verificeret modellen på disse gedder, men man må tilstræbe også at kunne verificere modellen på nye data.
#* Det er ikke altid, at man kan verificere en komplet model. I 1980'erne blev der arbejdet på at lave sandsynlighedsberegninger for hvor stor risikoen er for "det værst tænkelige uheld" på et atomkraftværk. Det er ikke muligt at sammenligne model-resultaterne med virkelige forhold. Så en verificering på den måde er ikke mulig.
# '''Validitet'''
#* Endelig skal modellens ''validitet'' fastlås. Det drejer sig om at tilskrive modellen en troværdighed. Kan vi have tillid til de beregninger, som modellen giver. For modellen med gedder eller højder, skal der måske angives et usikkerhedsinterval.
#* For meningsmålinger op til folketingsvalg er det blevet mere og mere almindeligt at angive et usikkerhedsinterval på målingerne. Dette udtrykker modellens validitet.
 
=== Efterskrift ===
15

redigeringer