Vinkel: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Cgt (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved Dipsacus fullonum bot, fjerner ændringer fra 85.218.169.5 (diskussion | bidrag) |
|||
Linje 1:
{{harflertydig2|Vinkel (flertydig)}}
En '''vinkel''' er en [[geometri]]sk figur bestående af to [[halvlinjer]] med et fælles begyndelsespunkt - '''toppunktet'''.
En vinkels størrelse (vinkelmålet) er længden af en [[cirkel]]bue, tegnet mellem de to halvlinjer forlænget/forkortet til længden 1. En vinkel vil således ligge i intervallet 0 til 2[[Pi (tal)|π]], idet omkredsen af en cirkel med radius lig 1 (en [[enhedscirkel]]) er 2π.
Radianmål er praktiske at regne med i mange [[trigonometri]]ske og andre [[Matematik|matematiske]] sammenhænge. I dagligdags, ikke-matematiske sammenhænge, måles vinkler imidlertid ofte i [[grad (vinkelmål)|grader]] og betegnes med symbolet: ° . Indenfor [[landmåling]] og [[fotogrammetri]] har man traditionelt benyttet [[nygrad]]er, hvor enheden kaldes ''gon''. En hel cirkel svarer til 2π, 360° eller 400 gon.
== Navngivning ==
{| style="float:right;clear:right;"
|-
| [[Fil:Right angle.svg|thumb|110px|Ret vinkel]] || [[Fil:Complement angle.svg|thumb|110px|Komplementærvinkler]]
|-
| colspan="2" | [[Fil:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|250px| Spids- (a) og stump- (b), vinkel. a og b er supplementære vinkler]]
|}
Vinkler under 180° navngives efter hvor store de er. En vinkel er:
* '''ret''', hvis den er ¼ af en fuld cirkel. Det er det samme som, at to linjer skærer hinanden på en måde, så alle fire fremkomne vinkler er lige store (de to linjestykker er hinandens [[normal (matematik)|normaler]]). En ret vinkel kaldes også for en '''[[kvadrant]]'''.
* '''spids''', hvis vinklen er mindre end en ret vinkel.
* '''stump''', hvis vinken er større end en ret vinkel.
Hvor en ret vinkel er på; <sup>π </sup>/<sub>2</sub> radianer = 90° = 100 gon. En [[trekant]] med en ret vinkel kaldes en [[retvinklet trekant]]. En [[firkant]] med 4 rette vinkler kaldes et [[rektangel]].
* To vinkler der er lige store kaldes for '''kongruente''' vinkler.
* To vinkler der lagt sammen giver 90°, kaldes for '''komplementære''' vinkler.
* To vinkler der lagt sammen giver 180°, kaldes for '''suplementære''' vinkler.
* To vinkler der lagt sammen giver 360°, kaldes for '''eksplementære''' vinkler.
* En vinkel på en sjettedel af en fuld cirkel kaldes for en '''[[sekstant]]'''. Heraf navnet på navigationsinstrumentet, der netop er formet som en vinkel på 1/6 af en cirkel.
* En vinkel på en ottendedel af en fuld cirkel kaldes for en '''oktant'''. Der findes ligeledes et vinkelinstrument der hedder en [[oktant]].
To linjer der skærer hinanden, danner to par af to vinkler. Starter man i den ene vinkel og følger vinklerne rundt om skæringspunktet, kommer man først til suplementærvinklen, derefter til vinklens '''topvinkel''' og til sidst til den suplementære vinkels topvinkel. En vinkel og dens topvinkel er lige store, og dermed også kongruente.
=== Andre vinkelmål ===
==== Astronomiske ====
* Et [[bueminut]] = 1/60 grad
* Et [[buesekund]] = 1/60 bueminut = 1/3600 grad.
==== Militære ====
* En [[terrænstreg]] = 1/6400 af en fuld cirkel = 0,05625°
==== Nautiske ====
* En [[tørn]] = 360° — en fuld cirkel. Benyttes ofte i forbindelse med store vinkler. f.eks en halvtørn = 180°
=== Vinkler i astronomi ===
Astronomer har gennem århundreder målt vinkler mellem objekter på stjernehimlen, og de har udviklet følgende ''tommelfingerregler''; holdes en arm ''udstrakt'', så dækker bredden af:
* lillefingeren, en vinkel på ca. 1°
* en knyttet næve, en vinkel på ca. 10°
* udspredt hånd, en vinkel på ca. 20°
Bemærk at det kan variere lidt fra person til person, så det er cirkatal.
=== Den første officielle kilometer ===
En [[kilometer]] (km) blev oprindeligt defineret som værende: een ''centigon'' (dvs. 1/100 gon) af en [[storcirkel]] målt på Jordens overflade. M.a.o. en 1/100 af 1/400 del = 1/40000 af jordens omkreds.
== Normaliserede-, positive- og negative vinkler ==
Normalt opgives en vinkel i intervallet [0, 2π [ , alternativt [0°, 360°[ , og måles positivt mod uret rundt. Ved beregninger med flere vinkler kan det ske at summen bliver større end 2π. Man vil så typisk fratrække et helt multiplum af 2π fra resultatet, således at vinklen ''normaliseres'' til normal/standard-intervallet.
Det kan undertiden være praktisk at arbejde med negative vinkler. En negativ vinkel, er en vinkel der måles med uret rundt og angives med et minustegn foran. Vinklen angives da i intervallet [-π, π [.
Indenfor [[navigation]] angives vinkler regnet fra nord og positivt med uret rundt. Dvs. nord = 0°, øst = 90°, syd = 180° og vest = 270°.
== Omregning og små vinkler ==
Man kan komme fra grader til radianer ved at gange med π/180, og fra radianer til grader ved at gange med 180/π.
Hvis vinklen er meget lille (typisk under een grad, afhængigt af hvor præcist det skal være), kan man tilnærme sinus og tangens til vinklen, med vinklen selv (målt i radianer):
<math> sin{ \left( v \right) }\, \approx \ \, tan{ \left( v \right) }\, \approx \, v </math>
f.eks.:
{|
|-
| align="right" | v = 0,25° ≈ || 0,004363323 (radianer)
|-
| align="right" | sin(v) ≈ || 0,004363309
|-
| align="right" | tan(v) ≈ || 0,004363351
|}
De tre værdier er altså ens på fem [[betydende cifre]], mere end nok til de fleste formål.
Indviklede trigonometriske ligninger kan herved gøres enklere, men det virker altså ''kun hvis vinklen er meget lille'', hvilket typisk er gældende indenfor astronomi, når der regnes på objekter i f.eks. fjerne galakser og lignende.
== Vinkler og vektorer ==
Der gælder følgende sammenhæng mellem to [[vektor]]er ''a'' og ''b'' og vinklen ''v'' mellem dem.
cosinus til v er lig med [[skalarprodukt]]et til a og b, divideret med produktet af de to vektorers længder.
sinus til v er lig med [[determinant]]en til a og b, divideret med produktet af de to vektorers længder.
| |||