Eksponentiel vækst: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
EPO (diskussion | bidrag) Sammenskrevet fra Eksponentialfunktion |
→Matematisk udformning: Indlejrer artiklen Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion. Bør måske rettes til |
||
Linje 32:
I disse definitioner er <math>n!</math> [[fakultet (matematik)|fakultetet]] af ''n'', og ''x'' kan eksempelvis være et [[reelle tal|reelt tal]], [[komplekse tal|komplekst tal]], et element i en [[Banachalgebra]] (eksempelvis en [[kvadratisk matrix]]) eller et element i legemet af [[p-adiske tal|''p''-adiske tal]].
==== Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion ====
[[Fordoblingskonstant]]en og [[halveringskonstant]]en er udtryk der bruges om eksponentiel udvikling og fortæller, hvor langt man skal gå ud ad [[abscisseakse]]n for at få fordoblet (eller halveret) [[funktionsværdi]]en, denne længde er nemlig konstant.
===== Sætningen =====
En eksponentielt voksende funktion er generelt skrevet:
<math>f(x) = b \cdot a^x, \quad a,b,x \in \mathbb{R}, a>0, b>0</math>
Fordoblings- og halveringskonstanten <math>T_2</math> er i denne givet som:
<math>T_2=\frac{log(2)}{log(a)}</math>
Ved halveringskonstanten er det dog ikke log(2) men log(0,5) (som er det samme som -log(2)), altså gælder:
<math>T_{1/2}=\frac{log(0,5)}{log(a)}</math>
Dette skal bevises.
===== Beviset =====
Vi ved, at når vi adderer <math>T_2</math> til et givet punkt, så skal funktionsværdien blive dobbelt så stor. Udtrykt matematisk er dette:
<math>f(x+T_2) = 2 \cdot f(x)</math>
[[Billede:Double.JPG|right|Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion]]
Hvis vi overfører dette til den generelle eksponentialfunktion, bliver det følgende.
<math>b \cdot a^{x+T_2}=2 \cdot b \cdot a^{x}</math>
Herefter benyttes almen og logarimisk algebra til at isolere <math>T_2</math>.
<math> a^{x+T_2}= a^{x} \cdot a^{T_2} = 2 \cdot a^{x}</math>
<math>\Updownarrow</math>
<math> a^{T_2}= 2 </math>
<math>\Updownarrow</math>
<math> \log \left( a^{T_2} \right)= \log\left( 2 \right) </math>
<math>\Updownarrow</math>
<math> T_2 \cdot \log \left( a \right)= \log\left( 2 \right) </math>
<math>\Updownarrow</math>
<math> T_2 = \frac {\log(2)}{\log(a)} </math>
<div style="text-align:center;"><math>Q.E.D.</math></div>
Sætningen er dermed bevist.
== Eksempel ==
| |||