Funktion (matematik): Forskelle mellem versioner

Content deleted Content added
m Datomærker Artikler uden kilder-skabeloner
introducerer dispositionsmængde og in-, sur- og bijektivitet
Linje 16:
Her står ''x'' for det antal minutter man har talt i telefon i en given måned: Hvis man erstatter ''x'''et i regneudtrykket til højre for lighedstegnet med antallet af samtaleminutter, får man et ganske almindeligt regnestykke – resultatet af det regnestykke er det beløb der står på telefonregningen for den måned. En funktion kan have flere forskellige forskrifter som giver de samme værdier for funktionen og det er derfor i den sammenhæng bedre at kalde forskrifterne for repræsentationer af funktionen. En repræsentation af en funktion kan fx være en sum af uendelig mange tal, som ofte er det eneste man kan finde. Det er ikke nødvendigvis sådan at summen er et endeligt tal for alle x værdier af interesse, summen kan blive uendelig. Summen skal så omformes til en anden repræsentation, et endeligt udtryk eller en sum der summeres op til et endeligt tal. Dette er meget ofte muligt.
 
== Definitions-, dispositions- og værdimængde ==
 
For en given funktion findes der totre [[Mængde (matematik)|mængder]] med særlig relevans: [[Definitionsmængde]]n til en funktion ''f'', der ofte skrives som Dm(''f''), [[dispositionsmængde]]n, og [[værdimængde]]n til ''f'', der tilsvarende skrives som Vm(''f''). Funktionen ''f'' siges at være "defineret på mængden Dm(''f'')".
 
=== Definitionsmængde ===
Linje 29:
:<math>h(x)=\sqrt{x}</math>
som ikke er defineret for negative tal, hvis der ses bort fra [[komplekse tal]].
 
=== Dispositionsmængde ===
Dispositionsmængden er den mængde, som funktionen afbilder definitionsmængden ind i, og er dermed altid en overmængde til værdimængden. Givet en funktions forskrift og definitionsmængde, men ikke dens dispositionsmængde, er det ikke nødvendigvis muligt at bestemme denne.
 
=== Værdimængde ===
Værdimængden til en funktion er mængden af ''samtlige værdier'' som den afhængige variabel kan antage for den funktion. I eksemplet med telefonregningen betaler man som minimum et vist beløb (det faste abonnement) hver måned for at have telefonen – uanset hvor meget eller lidt man bruger telefonen, kommer regningerne aldrig ned under denne minimumsgrænse. I matematikkens sprog hedder det, at værdimængdenVærdimængden Vm(''f'') til telefonregnings-funktionentelefonregningsfunktionen ''f'' bliverer dermed alle reelle tal, der er større end eller lig med abonnementsprisen.
 
Som for definitionsmængden kan der også være matematiskearitmetiske årsager til, at visse tal ikke optræder i en funktions værdimængde. I tilfældet med <math>g(x)=\frac{1}{x}</math> findes der ikke noget tal ''x'', som i den viste forskrift giver resultatet nul – af den grund hører nul ikke til værdimængden for funktionen ''g''.
 
== In-, sur- og bijektivitet ==
[[Fil:Surjection Injection Bijection-fr.svg|right|Idet X og Y er definitions- og dispositionsmængder, er f, g og h henholdvis surjektiv, injektiv og bijektiv.]]
En funktion kaldes [[injektiv]], hvis hvert element i dispositionsmængden bliver afbildet af højst ét element i definitionsmængden, dvs. hvis
 
f(x) = f(x') ⇒ x = x'
 
En funktion kaldes [[surjektiv]], hvis der til ethvert y i dispositionsmængden eksisterer mindst ét element x i definitionsmængden, der opfylder f(x) = y. For en surjektiv funktion er dispositionsmængde og værdimængde en og samme ting.
Som for definitionsmængden kan der også være matematiske årsager til, at visse tal ikke optræder i en funktions værdimængde. I tilfældet med <math>g(x)=\frac{1}{x}</math> findes der ikke noget tal ''x'', som i den viste forskrift giver resultatet nul – af den grund hører nul ikke til værdimængden for funktionen ''g''.
En funktion, der er både injektiv og surjektiv, kaldes [[bijektiv]].<ref>Peter Bollerslev: ''Matematik i læreruddannelsen: Kultur, Kundskab og Kompetence 2'', ss. 69-71. Nordisk Forlag A.S. Copenhagen, 1998</ref>
 
== Monotoni ==
Line 79 ⟶ 91:
* [[Sammensat funktion]]
* [[Vektorfunktion]]
 
== Kildehenvisninger ==
<references/>
 
{{Commonskat|Functions}}