Wikipedia

Kvadratrod: Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Gå til forrige forskelGå til næste forskel →
Content deleted Content added
VisueltWikitekst
Genopretter efter hærværk
Omstrukturering, Komplekse kvadratrødder.
Linje 1:
[[Fil:Squareroot-0-9-metapost.svg|thumb|250px|Kvadratrodsfunktionen i intervallet [0,9]]]
 
'''Kvadratroden''' tilaf et tal ''x'' skrives som <math>\sqrt{x}</math>, og er det ikke -negative tal ''t'', som tilfredsstiller [[ligning]]en ''t''<sup>2</sup> = ''x''. For alle ikke-negative tal ''x'' er ''t'' et reelt tal. TagerKvadratrod manskrives kvadratrodensom af<math>\sqrt{x}</math>, eteller negativt<math>x^{1/2} </math> . Når kvadratrod skrives talsom potens, bliveropnås ''t'' etat [[imaginære talAritmetik|imaginært talregnereglerne]]. Dissefor talkvadratrod harbliver netopspecialtilfælde grundenhedenaf <math>\imath = \sqrt{-1}</math>potensreglerne.
 
Det specielle "rod-symbol", der bruges til kvadratrod som vist ovenfor, samt mere generelt til at skrive "den n'te rod af" et tal ''x'' som <math>\sqrt[n]{x}</math>, er en tillempet udgave af bogstavet ''r''. Det står for det latinske ord ''radix'', som betyder rod.▼
 
En anden måde at opskrive kvadratroden af x på, er at opløfte til en halv, altså: <math>x^{1\over2} = \sqrt{x}</math>, eller mere generelt:<math>\sqrt[n]{x} = x^{1\over n}</math>. Det er dog kun førstnævnte der decideret betegnes med ''kvadratrod''. Havde tallet eksempelvis været 3, ville man sige kubikrod, eller blot 'den tredje rod'. Hvis rod skrives som potens, opnås at [[Aritmetik|regnereglerne]] for [[Rod (matematik)|rod]] bliver specialtilfælde af potensreglerne.
 
Man siger da, at <math>x^n</math> er den ''inverse'' funktion til <math>\sqrt[n]{x}</math>.
 
== Kvadratroden af de første 5 naturlige tal ==
Line 16 ⟶ 10:
<math>\sqrt{5} \approx 2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925638</math><br />
 
== Egenskaber ==
== Funktionen <math>f(x) = \sqrt{x}</math> ==
 
For [[funktion (matematik)|funktionenFunktionen]] <math>f(x) = \sqrt{x}</math>, gælder derhar følgende tingegenskaber:
 
[[Definitionsmængde]]n for kvadratrodsfunktionen er, som allerede nævnt, defineret for ikke negative reelle tal<math> Dm(f)= [0;\infty[ </math>
 
[[Værdimængde]]n er dermed defineret i <math>Vm(f) = [0;\infty[</math>.
 
Funktionen er kontinuert, voksende og konkav.
[[Differentialkvotient]]en kan ud fra princippet om at kvadratroden er ''x i en "halvte"'', beregnes til <math> f'(x) = {1\over 2 \sqrt{x}}</math>
 
[[IntegralDifferentialkvotient]]eten kan ud fra princippet om at kvadratroden er defineret''x i en "halvte"'', beregnes vedtil <math>\int{\sqrt{ f'(x}}) = {1\;over 2}\textrmcdot x^{d-1/2}x = {21\over 3} x2 \sqrt{x}}</math>
 
[[Integral]]et er defineret ved <math>\int{\sqrt{x}} \; \textrm{d}x = {2\over 3}x^{3/2} +k = {2\over 3} x \sqrt{x} +k, k\in \mathbb{R} \, .</math>
== Historie ==▼
Symbolet <math>\sqrt{}</math> blev først benyttet i [[1500-tallet]].
 
== Kvadratrødder af komplekse tal ==
Inden for de komplekse tal har ligningen [[ligning]]en ''t''<sup>2</sup> = ''z'' altid 2 løsninger når z er forskellig fra nul og der er som udgangspunkt ingen måde at definere en kvadratrod til et være den ene frem for den anden af disse løsninger. Der er f.eks. ingen fornuftig grund til at identificere "kvadratroden af .1 med det komplekse tal i frem for det komplekse tal -i. Hvis <math>z=|z|(\cos (\theta)+i\sin(\theta)) </math> så har [[ligning]]en ''t''<sup>2</sup> = ''z løsningerne''
 
<math>t=\pm |z|^{1/2}\cdot\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)</math>
 
Kvadratrødder kan dog godt defineres som en funktion på et 1-sammenhængende område, som ikke indeholder tallet 0.
 
▲== Historie ==
▲Symbolet <math>\sqrt{}</math> blev først benyttet i [[1500-tallet]]. Det specielle "rod-symbol", der bruges til kvadratrod som vist ovenfor, samt mere generelt til at skrive "den n'te rod af" et tal ''x'' som <math>\sqrt[n]{x}</math>, er en tillempet udgave af bogstavet ''r''. Det står for det latinske ord ''radix'', som betyder rod.
== Eksterne henvisninger ==
* [http://www.larsholmgaard.dk/misc/kvadratrod/ Sådan kan man beregne kvadratrod – interaktivt og visuelt forklaret i flash]
Hentet fra "https://da.wikipedia.org/wiki/Kvadratrod"