Versionen fra 15. maj 2016, 10:52 redigér Glenn (diskussion \| bidrag) Administratorer 128.681 edits m -{{SammenskrivesTil\|Voksende (matematik)\|<br />'''..som har tilknytningen til de andre sprogversioner via wikidata:Q194404''' \|dato=maj 2016}} ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 19. jul. 2016, 17:01 redigér fjern redigering Weblars (diskussion \| bidrag) Autopatruljerede 23.501 edits sammenskrevet med Voksende (matematik) Gå til næste forskel →
Linje 1: I [[matematik]] siges en [[funktion (matematik)\|funktion]]~~<nowiki/>~~ at være '''monoton''', dersom den enten er ~~[[Voksende (matematik)\|~~'''voksende]]''' eller ~~er [[Aftagende (matematik)\|~~'''aftagende]]''' i hele sin [[definitionsmængde]]. Eksempelvis er funktionen <math>f(x)=5x+7</math> monotont voksende. Funktionen <math>f</math> siges at være voksende dersom <math>x_1\leq x_2</math> medfører <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>. Tilsvarende siges funktionen <math>f</math> at være aftagende dersom <math>x_1\leq x_2</math> medfører <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>. Med disse definitioner er en funktion både voksende og aftagende netop hvis den er konstant. Funktionen siges at være '''strengt voksende''' dersom <math>x_1 < x_2</math> medfører <math>f(x_1) < f(x_2)</math>, og den siges at være '''strengt aftagende''' dersom <math>x_1 < x_2</math> medfører <math>f(x_1) > f(x_2)</math>. Vær opmærksom på den [[ulighed (matematik)\|skarpe ulighed]] mellem <math>f(x_1)</math> og <math>f(x_2)</math>, der udgør forskellen på de to definitioner. En undersøgelse af en funktions monotoniforhold består i at dele funktionens definitionsmængde op i såkaldte monotoniintervaller, så funktionen i hvert delinterval er enten voksende eller aftagende. Ofte undersøges en funktions monotoniforhold ved at differentiere funktionen, idet der gælder at funktionen er voksende, hvis f' er mindst nul og tilsvarende at funktionen er aftagende hvis f' er højst nul.▼ Funktionen siges at være strengt voksende dersom <math>x_1 < x_2</math> medfører <math>f(x_1) < f(x_2)</math>, og den siges at være strengt voksende dersom <math>x_1 < x_2</math> medfører <math>f(x_1) > f(x_2)</math>. Hvis ~~grafen~~[[graf]]en for en funktion ikke har vandrette stykker, så er der ingen forskel på begreberne voksende og strengt voksende, og tilsvarende er der ikke forskel på begreberne aftagende og strengt aftagende. Specielt er konstante funktioner de eneste analytiske funktioner, som har et monotoniinterval, hvor funktionen er monoton uden at være '''strengt monoton'''. ~~Bemærk at mange danske lærebøger i matematik kun bruger begrebet voksende om funktioner, som er strengt voksende og begrebet aftagende om funktioner som er strengt aftagende.~~ == Tvetydighed == Der er ikke fuldkommen enighed i dansksprogede matematikbøger om at skelne mellem ''voksende'' og ''strengt voksende'' (henholdsvis ''faldende''/''strengt faldende''). I mange danske lærebøger i matematik bruges kun begrebet voksende om funktioner, som er strengt voksende og begrebet aftagende om funktioner som er strengt aftagende. Man kan dermed bruge begrebet '''svagt voksende''' for funktioner som ovenfor kaldes ''voksende''. Desværre er den eneste sikre måde at undgå tvetydighed på at man helt undgår ordet ''voksende'' uden at specificere om man mener ''strengt'' eller ''svagt''. Der er kun forskel på begreberne voksende og strengt voksende for funktioner hvis graf har vandrette stykker. Hvis man holder sig til analytiske funktioner, vil den konstante funktion være den eneste funktion hvor begreberne voksende og strengt voksende adskiller sig fra hinanden. == Relation til differentialregning == Ofte vil man bruge [[differentialregning]] til at undersøge om en funktion f er voksende, idet der gælder at f er voksende i et interval netop hvis <math>f'(x)\geq0</math> ▲En undersøgelse af en funktions monotoniforhold består i at dele funktionens definitionsmængde op i såkaldte monotoniintervaller, så funktionen i hvert delinterval er enten voksende eller aftagende. Ofte undersøges en funktions monotoniforhold ved at differentiere funktionen, idet der gælder at funktionen er voksende, hvis f' er mindst nul og tilsvarende at funktionen er aftagende hvis f' er højst nul. [[Kategori:Funktioner]]

Monotoni (matematik): Forskelle mellem versioner