Pol (matematisk): Forskelle mellem versioner

Content deleted Content added
m Tilføjede Kategori:Matematisk analyse ved hjælp af Hotcat
Linje 3:
Ved [[keglesnit]]tene vil de punkter, der tillige med et givet punkt deler korder gennem det givne punkt harmonisk, ligge på en ret linie; det givne punkt kaldes pol for linien som polar. Polaren går gennem rRøringspunkterne for de to tangenter fra polen til keglesnittet; til hver linie som polar svarer altså ét punkt som pol og omvendt. Går et punkt A's polar gennem et andet punkt B, vil B's polar gå gennem A. Ved en keglesnitsflade svarer til et vilkårligt punkt som pol en polarplan, defineret på samme måde som polaren og gående gennem røringskeglesnittet for den om keglesnitsfladen omskrevne kegleflade, der har toppunkt i polen. Den reciprokke polarfigur til en given figur med hensyn til en keglesnitsflade dannes af polerne og polarplanerne til den givne figurs planer og punkter. Til punkter i samme plan eller samme rette linie i den ene figur svarer i den anden figur planer gennem samme punkt ell. samme rette linie; dobbeltforhold i den ene figur er lige store med de tilsvarende dobbeltforhold i den anden. Fra egenskaber ved den ene figur kan man altså slutte sig til egenskaber ved den anden; denne metode til overførelse af sætninger, der skyldes [[Jean-Victor Poncelet]], giver samme resultater som [[dualitet]]en, men tænker sig en bestemt indbyrdes beliggenhed af de dualistisk forbundne figurer. På analog måde kan man i en plan danne reciprokke polarfigurer med hensyn til et keglesnit i planen.
 
<!--Teorien om pol og polar, hvis grundlag allerede findes i [[oldtiden]]s græske geometri, er væsentlig opbygget af [[Philippe de La Hire]] og (for keglesnitsfladerne) af [[Gaspard Monge]]. Den er af [[Étienne Bobillier]] og [[Julius Plücker]] udvidet til alle plane [[algebra]]iske kurver og danner fundamentet for disses almindelige teori. Et punkt O har med hensyn til en kurve af n'te orden en 1. polarkurve af ordenen n—1, der går gennem røringspunkterne for tangenterne fra O til kurven, en 2. polarkurve af ordenen n—2, der afledes af den 1. på samme måde som denne af den forelagte kurve o. s. v., endelig en retlinet n—1'te polar, polarlinien. På en vilkårlig sekant gennem O vil den reciprokke værdi af O's afstand fra skæringspunktet med polarlinien være middeltallet af de reciprokke værdier af O's afstande fra skæringspunkterne med kurven; falder O uendeligt fjernt, er polarlinien [[diameter]] for korder i retningen ud til O. Analoge definitioner bruges ved de algebraiske flader. I den sfæriske geometri forstås ved en
<!--Teorien om pol og polar, hvis grundlag allerede findes i Oldtidens gr.
storcirkels pol endepunkterne af diameteren vinkelret på storcirklens plan. Ved en pol for en funktion f(x) forstås et punkt i planen, hvis punkter fremstiller x's værdier, i hvilket f(x) bliver uendelig, medens 1/f(x) er kontinuert i punktets omegn.
Geometri, er væsentlig opbygget af De la Hire
 
og (for Keglesnitsfladerne) af Monge. Den er af
Bobillier og Plücker udvidet til alle plane
algebraiske Kurver og danner Fundamentet for
disses alm. Teori. Et Punkt O har m. H. t. en
Kurve af n’te Orden en 1. Polarkurve af Ordenen
n—1, der gaar gennem Røringspunkterne for
Tangenterne fra O til Kurven, en 2. Polarkurve
af Ordenen n—2, der afledes af den 1. paa
samme Maade som denne af den forelagte Kurve
o. s. v., endelig en retlinet n—1’te Polar,
Polarlinien. Paa en vilkaarlig Sekant gennem
O vil den reciprokke Værdi af O’s Afstand fra
Skæringspunktet med Polarlinien være
Middeltallet af de reciprokke Værdier af O’s Afstande
fra Skæringspunkterne med Kurven; falder O
uendeligt fjernt, er Polarlinien Diameter (s. d.)
for Korder i Retningen ud til O. Analoge
Definitioner bruges ved de algebraiske Flader. I den
sfæriske Geometri forstaas ved en
Storcirkels P. Endepunkterne af Diameteren
vinkelret paa Storcirklens Plan. Ved en P. for en
Funktion f(x) forstaas et Punkt i Planen,
hvis Punkter fremstiller x’s Værdier, i hvilket
f(x) bliver uendelig, medens 1/f(x) er kontinuert i Punktets Omegn. -->
== Kilder ==