Keglesnit: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
embed {{Autoritetsdata}} with wikidata information |
Weblars (diskussion | bidrag) sammenskrevet med Ledelinje |
||
Linje 1:
Et '''keglesnit''' er den [[geometri]]ske kurve der fremkommer hvis man skærer en [[Kegle (geometri)|kegle]] igennem med et plant snit. Der er fire muligheder, nemlig
==
På illustrationerne herunder ses nogle grønne kegler med deres [[Symmetriakse|akse]] markeret som en sort, stiplet linje. De gennemskæres af det blå, skakternede [[Plan (matematik)|plan]] i forskellige vinkler, og danner derved snitflader i keglen, markeret med en rød streg:
{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0
|-----
| align="Center" | '''Cirkel''' || align="Center" | '''Ellipse'''
| align="Center" | '''Parabel''' || align="Center" | '''Hyperbel'''
|-----
| [[Fil:Cirkel som keglesnit.jpg|thumb|upright]]
| [[Fil:Ellipse som keglesnit.jpg|thumb|upright]]
| [[Fil:Parabel som keglesnit.jpg|thumb|upright]]
| [[Fil:Hyperbel som keglesnit.jpg|thumb|upright]]
|}
Line 27 ⟶ 22:
* Bliver snitfladens vinkel med aksen mindre end frembringerens, får man en hyperbel.
===Brændpunkt og ledelinje===
[[File:Ellipse parameters da.svg|thumb|Ellipse med brændpunkter og ledelinjer]]
Keglesnit kan også beskrives geometrisk ved at betragte et givet punkt i planet, kaldet '''brændpunktet''', samt en ret linje, kaldet '''ledelinjen'''. Brændpunktet må ikke ligge på ledelinjen. Da beskriver de punkter, hvis afstand til ledelinjen og brændpunktet står i et konstant forhold ''e'' til hinanden, hvordan keglesnittet ser ud.
Afhængig af forholdet ''e'', [[Excentricitet (matematik)|excentriciteten]], genereres forskellige figurer. Cirklen kan man betragte som havende en excentricitet lig med nul <math>\ (e = 0) </math> og derfor en ledelinje som ligger uendeligt langt væk.
* En ellipse genereres for <math>\ 0 < e < 1 </math>
* En parabel genereres for <math>\ e=1 </math>
* En hyperbel genereres for <math>\ e > 1 </math>
De tre punktmængder kan også karakteriseres på denne måde: Vi har en given linje l, et punkt F, som ikke ligger på linjen og et positivt tal e. Vi betragter nu punktmængden som består af alle de punkter (P) hvorom det gælder at FP/lP = e, hvor FP er afstanden fra P til F, og lP er den vinkelrette afstand fra linjen l til P.
<!--
'''''følgende bør nok slettes:''''' Dette er facts, som kan verificeres i den konventionelle matematik.
Herpå følger et sæt af overvejelser, som alle indbydes til at hjælpe med:
Da ikke alt i det følgende er i overensstemmelse med den etablerede matematik, så mærkers etablerede kendsgerninger med mærket{{fact}}
Flere lighedspunkter:
ELLIPSEN har 2 brændpunkter F1 og F2. 1) Summen af F1P og F2P er konstant. 2) Sender man stråler ud fra F1 og ellipsen spejler, så vil strålerne samles i F2 (fact)
PARABLEN har 1 brændpunkt. 1) Afstanden fra P til ledelinjen er lig afstanden fra punktet P til F. Hvis m er en linje parallel med ledelinjen placeret modsat l i forhold til F, vil FP + mP være en konstant (ligesom i ellipsen!) Bemærk at denne linje m kan placeres vilkårligt langt fra l. 2) Sender man stråler ud fra F og parablen spejler vil strålerne sendes af sted parallelt (fact)
HYPERBLEN har igen 2 brændpunkter. 1) F1P - F2P er en konstant. 2) Sender man stråler ud fra F1 og hyperblen spejler, så vil strålerne igen samles i F2? Ja hvis de gik baglæns. Strålernes fortsættelse i modsat retning vil gå igennem F2 (fact)
Oplæg:
I en bog om Einsteins teori antydes det, at hvis man sender en genstand af sted i en given retning, så kommer den tilbage til udgangspunktet fra den modsatte retning.
I slægtskab mellem ellipser, parabler og hyperbler ser vi en bekræftelse på dette: Hvad hvis de tre figurer ikke er så forskellige. Hos ellipsen samles strålerne i F2.
Hos Parablen sendes strålerne ud parallelt. Hvornår samles de? I et punkt (F2) i "uendelig afstand"?
Hos hyperblen spredes strålerne. Hvis de kommer tilbage som forudsagt, vil de samles i F2! beliggende modsat F1.
Så ellipsen ligger i 1 plan. Parablen ligger med sin anden del (og F2) ude af planet (rager ud i uendelig) og hyperblen er vendt tilbage fra den modsatte side (med F2 synlig modsat F1)
Forskellen på de tre figurer skulle i så fald være udbredelsen alene. Ikke deres karakteristik.
Hvad med summen af F1P og F2P?
Hos ellipsen er denne sum konstant for alle figurens punkter P.
Hos parablen så vi at summen af FP og mP er konstant. Flytter vi m ud i "uendelig" bliver linjen til et punkt? så der igen gælder, at F1 + F2 er konstant.
Hos hyperblen bliver det lidt mere spekulativt. Kan vi sætte en afstand på hele turen rundt?. Denne genstand som sendes af sted. Hvor langt har den bevæget sig, når den vender tilbage? Vi kan næppe sætte et tal på, men vi kan antage, at denne afstand er den samme uanset hvilken retning vi vælger. Vi kan kalde den T.
Vi ved at F2P - F1P er konstant. Vi "ved" at når en stråle sendes ud fra F1, så vandrer den først fra F1 til et punkt P på hyperblen. Derfra spejles strålen ud i rummet, og skulle så vende tilbage til F2 fra den modsatte side. Hvor lang har denne anden tur været: T - F2P. Lægger vi nu de to ture sammen får vi F1P + (T-F2P), men da F1P - F2P er konstant så er summen af de to ture altså igen konstant! ligesom i elipsen.
Bemærk at "sumreglen" således skulle gælde for alle tre figurer, hvilket bekræfter den antagelse, at alle tre punktmængder er typer af det samme.
-->
== Kugle-reglen ==
Hver af de fire keglesnit har et eller to ''brændpunkter'', om end cirklens "brændpunkt" normalt omtales som dens ''centrum''. Hvis man lægger en kugle i et kegle-formet "bæger", og derefter som snitplan vælger et tangentplan til kuglen, så vil kuglens røringspunkt med snitplanet netop være keglesnittets brændpunkt (eller, for ellipsens og hyperblens vedkommende: det ene af dem).
| |||