Bruger:Burningbrand/sandkasse: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Linje 1:
==Moderne formulering af ZFC==
Der er mange ækvivalente formuleringer af ZFC aksiomerne. Det betyder
ZFC Aksiomerne er fundamentet for de fleste matematiske teoremer, dog skal det bemærkes at aksiomerne fremkom som de aksiomer som tillod at bevise de teoremer man mente var rigtige og ikke omvendt.
En målsætning når man skal skabe fundamentale aksiomer er at der skal være så få forudfattede begreber i aksiomerne som muligt for at forhindre at disse senere findes ikke at være korrekte, hvilket er sket flere gange i matematikkens historie. Hvordan detts kan glres illustreres nedenfor.▼
Aksiomerne bruges til at bevise udsagn om mængder ved en veldefinered proces, en beviskæde, som udgør et bevis:
Dette gøres udelukkende ved anvendelse af tre forskellige metoder i beviskæden: For hvert trin i beviskæden 1) at referere
▲En målsætning når man skal skabe fundamentale aksiomer er at der skal være så få forudfattede begreber i aksiomerne som muligt for at forhindre at disse senere findes ikke at være korrekte, hvilket er sket flere gange i matematikkens historie. Hvordan
Mængdelære bygger på postulatet at der er en fundamental binær relation <math>\epsilon </math> , den eneste definition af <math>\epsilon </math> og mængde findes i de 9 aksiomerne som handler om dem, der er i den forstand ingen formel definition.
Ud over dette benyttes nogle logiske operatorer, som antages kendte (fra logikken). fx
<math> \neg </math> betyder logisk Not.
Linje 21:
<math> \exists ! y </math> betyder der eksisterer en unik y
<math> \not \exists y </math> betyder der eksisterer intet y
<math> \vee </math> betyder logisk OR
Line 34 ⟶ 36:
Vi kan definere
Er ikke element: <math> x \notin y : \Leftrightarrow \neg ( x \in y) </math>
Delmængde :<math> x \subseteq y : \Leftrightarrow \forall a:( a \in x \Rightarrow a \in y) </math>
Lighed: <math> x=y : \Leftrightarrow \forall x \forall y: x \subseteq y \wedge y \subseteq x </math>; kan også formuleres som hvis x og y har de samme elementer så tilhører de de samme mængder. <math> x=y
\leftrightarrow \forall x \forall y \forall w( x \in w \leftrightarrow y \in w) </math> Line 47 ⟶ 48:
1. Aksiom:
<math>x \in y </math> er et udsagn (dvs. er enten sand eller falsk) hvis og kun hvis x og y er mængder. Dvs
at hvis enten x eller y ikke er en mængde så er <math>x \in y </math> ikke et udsagn.
( I naiv mængde teori (som læres i skolen) kan x være andet end en mængde, derved kan paradoxer blive et problem)
Line 56 ⟶ 58:
<math> \exists x: \forall y : y \notin x </math>
( der er kun
3.Aksiom:
Line 65 ⟶ 67:
<math> \forall x: \forall y: \exists m : \forall u: (u \in m \Leftrightarrow u=x \vee u=y) </math>
( bemærkning:
4.Aksiom
Line 73 ⟶ 75:
Lad x være en mængde. Så findes der en mængde hvis elementer netop er elementer af elementerne af x (kaldes foreningsmængde )
Notation: <math> u = \
Eksempel: Lad a,b være mængder , {a} er en mængde (ifølge aksiomet om par) og { b} er en mængde og x=<nowiki>{{a},{b}}</nowiki> er en mængde.
<math> \
Ligeledes x = <nowiki>{{a},{b,c}}</nowiki> giver <math> \
5. Aksiom:
Line 92 ⟶ 94:
Princippet om begrænset mængde bygning følger af dette aksiom (5):
Lad <math> P </math> være et prædikat i en variabel og lad m være en mængde. De elementer <math> y\in m </math>, for hvilke <math> P(y) </math> er sand, er en mængde.
<math> \{ y \in m | P(y) \} </math>
Dette kaldes et skema, fordi det egentlig ikke er
I naiv mængdeteori behøver y ikke at være begrænset (universel mængdebygning), hvilket leder til paradokser.
Line 103 ⟶ 105:
Eksistens af Potens-mængde:
Hvis m er en mængde så er potensmængden <math> P(m) </math> mængden af alle submængder af m.
<math> \forall m \exists y \forall z: ( z \subseteq m \Rightarrow z \in y ) </math>
Line 121 ⟶ 123:
8. Aksiom:
Udvalg.
Lad x være en mængde hvis elementer ikke er tomme og gensidigt disjoint. Der eksisterer så en mængde y som indeholder nøjagtigt et element fra hvert element af x.
Line 134 ⟶ 136:
Enhver ikke tomt mængde x indeholder et element y som har ingen af dets elementer fælles med x.
Umiddelbar konsekvens : Der er ingen mængde som indeholder sig selv som element: <math> x\in x </math> for ingen mængde x. <math> \not \exists x: ( x \in x) </math>
==See also==
| |||