Forskel mellem versioner af "Integralregning"

127 bytes tilføjet ,  for 4 år siden
Fjerner nogle anførselstegn; gør forhåbentlig tekst lettere at forstå?
(Fjerner hærværk)
(Fjerner nogle anførselstegn; gør forhåbentlig tekst lettere at forstå?)
'''Integralregning''' udgør inden for [[matematik]]ken sammen med [[differentialregning]] den såkaldte [[infinitesimalregning]]. Integraler er basalt set en udvidelse af summering, idet man summerer uendeligt mange, uendeligt små (infinitesimale) dele. Således kan man f.eks. finde et areal ved opdeling i uendeligt små firkanter (arealelementer), og summere disse op. Et andet eksempel er at beskrive den samlede ændring i en [[matematisk funktion]], ud fra viden om hvor hurtigt denne ændrer sig (f.eks. til et givet tidspunkt eller sted).
 
== Eksempler ==
== Et eksempel til illustration af integralregning ==
For at forstå hvad integraler er, kan man forestille sig en person som dagligt kører i [[bil]] til og fra sit job: På et tidspunkt får han/hun brug for at vide hvor lang ruten mellem hjem og arbejdsplads er, men desværre er bilens [[kilometertæller]] (og evt. triptæller) i uorden. Men [[speedometer]]et fungerer (og viser endda ganske nøjagtigt), så med lidt tidtagning kan man, omend med nogen usikkerhed, beregne den kørte distance således:<br />
10 minutters by-kørsel (50 km/t) ud til motorvejen giver 8,3 km; 20 minutter på motorvej (110 km/t) giver 36,7 km, og til sidst yderligere 15 minutters by-kørsel ved 50 km/t, som giver 12,5 km. I alt 57,5 km.<br />
Hvis man kan skrive et regneudtryk, der præcist fortæller hvad bilens fart var til et tidspunkt ''t'' minutter inde i køreturen, kan man ved hjælp af integralregning beregne den kørte distance helt præcist: Løser man ovenstående opgave ved at ''integrere'' regneudtrykket for bilens fart, svarer det til at føromtalte assistent noterede den øjeblikkelige hastighed i uendeligt mange, uendeligt små tidsintervaller.
 
For et mere formelt eksempel, betragt da en funktion <math>f(x)</math> defineret i et lukket interval <math>\left [ a;b \right ]</math>. <math>f(x)</math> er kontinuert og <math>f(x)\ge 0 \quad \mbox{for} \quad x \in \left [ a;b \right ]</math>.
== Et andet eksempel ==
Givet et interval fra a til b ( Kan være åbent, lukket eller halvåbent ) og en inddeling af intervallet i n stykker af længden Delta x<sub>''i''</sub>
 
Nu inddeles <math>\left [ a;b \right ]</math> i ''n'' stykker, hver af længden <math>\Delta x=\frac {b-a}{n}</math>. I hvert af intervallerne vælges tilfældigt en x-værdi <math>x_i</math> Til hvert interval hører nu et rektangel med arealet <math>A_i =f(x_i) \cdot \Delta x \quad i=1, \ldots ,n</math> Summen af disse rektangler, <math>\sum_{i=1}^n A_i = \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x</math>, er en approksimation af arealet der afgrænses af grafen for <math>f</math>, x-aksen samt de to lodrette linjer defineret ved <math>x=a</math> og <math>x=b</math>. Efterhånden som <math>n \to \infty</math>, vil <math>\Delta x \to 0</math>, og summen af rektanglernes areal bliver en stedse bedre approksimation for førnævnte areal. Med denne motivation kan man definere det bestemte integral af ''f'' i intervallet [a, b] som <math>\lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^n f(x) \Delta x \to \int_a^b f(x)dx}</math>
Eksempel:
 
<math>f(x)</math> er kontinuert og <math>f(x)\ge 0 \quad \mbox{for} \quad x \in \left [ a;b \right ]</math>
 
1. <math>\left [ a;b \right ]</math> inddeles i ''n'' stykker af længden <math>\Delta x</math>.
 
2. I hvert af intervallerne vælges tilfældigt et punkt, <math>x_i</math> med <math>f(x_i)</math>
 
3. Til hver interval hører nu et rektangel med arealet <math>A_i =f(x_i) \cdot \Delta x \quad i=1, \ldots ,n</math>
 
4. Summen af A<sub>''i''</sub>-erne dannes <math>\sum_{i=1}^n A_i = \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x</math> (Middelsum)
 
5. <math>n \to \infty \quad \mbox{og} \quad \Delta x \to 0: \quad \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \to \mbox{Arealet}</math>
 
Det generelle integrationsprincip:
 
<math>\sum_{i=1}^n f(x) \Delta x \to \int_a^b f(x)dx \mbox{ for } n \to \infty \mbox{ og } \Delta x \to 0</math>
 
== Bestemte og ubestemte integraler ==
Man skelner mellem to måder at bruge integraler på;: hhv. ''bestemte'' og ''ubestemte'' integraler.
 
=== Ubestemt integral ===
[[File:Integration area under curve.png|thumb|Viser integralet af en funktion som arealet under kurven]]
I eksemplet med bilen kan man, skalud fra den [[Funktion (matematik)|funktion]] (regneudtrykket) der beskriver bilens øjeblikkelige fart til ethvert tidspunkt ''t'' under kørslen, "regnesberegne om"den tiltilbagelagte etstrækning andetsom udtryk: Dette "omregnede udtryk" omtaler [[matematiker]]e somdet ''det ubestemte integral'' af fart-funktionenfartfunktionen. Hvis fart-funktionenfartfunktionen hedder ''f''(''t''), skrives det ubestemte integral heraf som:<br />
<math>\int f(t) dt</math><br />
At integrere mht. en bestemt variabel modsvarer at [[differentiere]] mht. samme variabel, sådan at <math>f(t)=\frac{d}{dt}\int f(t) dt</math>; og da man definerer ''fart'' som [[differentialkvotient]]en af stedfunktionen mht. tid, følger det, at stedfunktionen er en [[stamfunktion]] til fartfunktionen mht. tid.
Tegnet "''∫''" til venstre kaldes det lange ''s'' eller, når det bruges i forbindelse med integralregning, et ''integraltegn''. Det var oprindeligt en skrivemåde for et ''s'', der ikke afslutter et ord, og brugtes første gang til integralregning af [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] baseret på det latinske ord ''summa'' (sum). Der står ''dt'' til sidst for at "minde om", at der integreres ''med hensyn til t'' – i stedet for blot ''f''(''t'') kunne der stå et gevaldigt regneudtryk med en masse variabler i, og så viser "''dt''" hvilken en af dem der integreres over.
 
Tegnet "''∫''" til venstre kaldes det lange ''s'' eller, når det bruges i forbindelse med integralregning, et ''integraltegn''. Det var oprindeligt en skrivemåde for et ''s'', der ikke afslutter et ord, og brugtes første gang til integralregning af [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] baseret på det latinske ord ''summa'' ("sum)". Der står ''dt'' til sidst for at "minde om"angiver, at der integreres ''med hensyn til t'' – i stedet for bloter ''fintegranden''(''t''), kunnealtså derden ståvariabel etder gevaldigt regneudtrykintegreres ''med enhensyn masse variabler i, og så viser "til''dt''" hvilken en af dem der integreres over.
 
Det ubestemte integral er i en vis forstand "blot" en andenny funktion af samme variabel som den oprindelige funktion (''t'' i eksemplet). Denne "nye funktion" kan nu bruges til at beregne de såkaldte ''bestemte integraler''.
 
=== Bestemt integral ===
Når man har fundet det ubestemte integral af et regneudtryk, kan man beregne bestemte integraler:. I eksemplet med bilen svarer det til at beregne hvor stor en del af hele strækningen der blev tilbagelagt inden for bestemte tidsintervaller. For eksempel: Hvor mange af de i alt 57,5 km bliver tilbagelagt inden for de første fem minutters bykørsel efter motorvejen?
Hvis man har fundet det ubestemte integral af "fart-funktionen"fartfunktionen som en ny funktion ''F''(''t''), sådan at:<br />
<math>\int f(t) dt = F(t)</math><br />
kan man svare på spørgsmålet om de første 5 minutter efter motorvejen (30 til 35 minutter efter starten):<br />
<math>\int_{30}^{35} f(t) dt = F(35) - F(30)</math><br />
Bemærk skrivemåden med de to tal (30 og 35) der afgrænser derdet relevante interval skrevet ved integraltegnet. Har man et regneudtryk for ''F''(''t''), kan man således løse opgaven for vilkårlige tidsintervaller.
 
Bemærk, at "svaret på" et bestemt integral er et tal – i eksemplet med bilen, den strækning der køres inden for 5 minutter efter motorvejen forlades – mens et ubestemt integral altid er eten regneudtrykfunktion.
 
== Arealet under en kurve ==
 
== Se også ==
Her er en oversigt over integraler i flere dimensioner:
* [[Kurveintegral]]
* [[Planintegral]]
* [[Fladeintegral]]
* [[Rumintegral]]
* [[Stamfunktion]]
* [[Henri Léon Lebesgue]]
Her er en oversigt over* integraler i flere dimensioner:
** [[Kurveintegral]]
** [[Planintegral]]
** [[Fladeintegral]]
** [[Rumintegral]]
 
== EksterntEksterne linklinks ==
{{Commonscat|Integral calculus}}
* http://integrals.wolfram.com/ : Her kan man indtaste et regneudtryk, og få det ubestemte integral (med hensyn til en variabel ''x'' som skal indgå i regneudtrykket)
518

redigeringer