Kasteparabel: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Er i gang med at omstrukturere lidt, så artiklen bliver lidt mere læselig og ikke blot kaster om sig med formler. |
No edit summary |
||
Linje 5:
Læg mærke til, at den vandrette afstand i affyringshøjden er størst ved en vinkel på 45°.
]]
For et legeme der skydes/kastes
:<math>
y(x)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)}\cdot x^2 + \tan(\alpha)\cdot x.
</math>
hvor <math>g=9
Den maksimale kastelængde <math>x_\text{max}</math> og kastehøjde <math>y_\text{max} </math> er givet ved
Linje 15:
x_\text{max}=\frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g} \qquad y_\text{max}= \frac{v_0^2 \cdot \sin(\alpha)^2}{2g}\,,
</math>
og den optimale affyringsvinkel for at
:<math>
\alpha_\text{optimal} = 45^\circ \,.
Linje 21:
=== Udledning ===
Når formlen for kasteparablen udledes, tages [[luftmodstand]]en ikke i betragtning, da den umuliggør både en parabel og den analytiske metode i det hele taget – se også afsnittet om det skrå kast ved luftmodstand. Dette er en god model, så længe luftmodstanden er meget lille i forhold til tyngdekraften.
Vi behandler kastet matematisk i et koordinatsystem med en vandret <math>x</math>-akse og en lodret <math>y</math>-akse, der peger opad. Kasteparablen beskriver :<math>\vec v_0={v_0 \cdot \cos(\alpha)\choose v_0 \cdot \sin(\alpha)}.</math>
Line 45 ⟶ 49:
hvor <math>y_0</math> er positionen til tiden <math>t=0</math>.
Vi kan nu også opskrive hastigheden som funktion af tiden
At kastebanen har form som en matematisk [[parabel]] kan ikke umiddelbart ses ud fra dette. Dette skal vises. Der ses – ud fra udtrykket for ''x''-koordinaten – at man kan bestemme det tidspunkt, hvor legemet har en given hastighed og ''x''-koordinat ved▼
og positionen som funktion af tiden
<math>\vec r (t)={v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t+x_0 \choose -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2+v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t+y_0}</math>
▲At kastebanen har form som en matematisk [[parabel]] kan ikke umiddelbart ses ud fra dette.
Først kan man bestemme det tidspunkt, hvor legemet har en given hastighed og ''x''-koordinat ved
:<math>x=v_0\cdot \cos(\alpha)\cdot t + x_0</math>
:som kan omskrives til
:<math>t=\frac{x-x_0}{v_0\cdot \cos(\alpha)}.</math>
For hvert tidspunkt og ''x''-koordinat, må der være en tilhørende ''y''-koordinat. Ovenstående
:<math>{y(x)=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot \left(\frac{x-x_0}{v_0\cdot \cos(\alpha)}\right)^2+v_0\cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{x-x_0}{v_0\cdot \cos(\alpha)} + y_0 =-\frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)}\cdot (x-x_0)^2 + \tan(\alpha)\cdot (x-x_0) + y_0.}</math>
Hvis man starter bevægelsen i <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math> reduceres kasteparablen til
:<math>
y(x)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)}\cdot x^2 + \tan(\alpha)\cdot x
</math>:
og det bliver lidt letter at genkende udtrykket for en parabel.
==== Beregning af maksimal kastelængde og højde ====
Line 91 ⟶ 106:
</math>
Dette resultat ses ud fra, at hvis <math>x_\text{max}</math> skal være størst muligt, skal <math>\sin(2\alpha)=1</math>. Da <math>\sin(90^\circ)=1</math>, må <math>\alpha_\text{optimal}=\frac{90}{2}=45^\circ</math>.
Dette resultat ændrer sig, hvis genstanden lander i en anden højde, end den kastes fra, for eksempel i et spydkast eller kuglestød.
Der hvor legemet er højest over startpunktet kan findes ved at bruge symmetri. Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, dvs. der hvor legemet vender retning og har opnået sin maksimale højde. Dette betyder at x-værdien for toppunktet ligger midt mellem parablens skæring med x-aksen,
| |||