|
== Vigtigheden af ikkemålelige mængder ==
Bestemte mængder har en veldefineret 'længde' eller 'masse'. For eksempel har det mening at tillægetillægge [[interval (matematik)|intervallet]] [0, 1] længden 1, eller mere generelt at tillægge intervallet [''a'', ''b''], ''a'' ≤ ''b'', længden ''b'' − ''a''. Forestiller man sig intervaller som metalstænger har de ligeledes veldefinerede masser. Hvis [0, 1]-stangen vejer 1 kilogram, vil en [3, 9]-stang veje 6 kilogram. Mængden [0, 1] ∪ [2, 3] er sammensat af to intervaller af længde en, så hele mængden siges at have længde 2. På samme måde vil to stænger med masse 1 kilogram sammen have massen 2 kilogram. Studiet af længde, areal, og, mere generelt, ''mål'' af mængder, lægger til grund for den gren af matematikken, der kaldes [[målteori]].
Her opstår et naturligt spørgsmål: Hvis ''E'' er en vilkårlig delmængde af den reelle tallinje, har den da altid en veldefineret 'masse' eller 'længde'? For eksempel; hvad er massen af mængden af [[rationelle tal|rationale tal]]? Disse er fint fordelt over hele den reelle linje, så et hvilket som helst svar kan umiddelbart virke fornuftigt.
I målteorien viser det sig, at man, hvis man som før tillægger intervallet [''a'', ''b''] målet ''b'' − ''a'', vil nå frem til, at de rationellerationale tal har mål 0. Enhver mængde der har et veldefineret mål siges at være målelig (se artiklen [[σ-algebra|sigma-algebra]] for en uddybende forklaring). Det er, ud fra konstruktionen af [[Lebesguemålet]] (for eksempel ved hjælp af [[ydre mål]]), ikke oplagt, at der findes ikkemålelige mængder.
== Konstruktion og bevis ==
Nedenstående resultat, der vistes af [[Giuseppe Vitali]] i [[1905]], viser, at Lebesguemålet ikke kan udvides til et [[translationsinvariant]] mål, ''m'' på hele potensmængden af de reelle tal.
Først indføres en [[ækvivalensrelation]] på intervallet [0, 1]: To tal ''x'' og ''y'' i [0,1] siges at være ækvivalente, ''x'' ~ ''y'', hvis ''x'' − ''y'' er et [[rationelle tal|rationeltrationalt tal]]. For hvert ''x'' i intervallet betragtes nu ækvivalensklassen [''x''] = {''y'' i [0,1] : ''x'' ~ ''y''} bestående af alle tal, der er ækvivalente med ''x''. Ifølge [[udvalgsaksiomet]] kan vi nu finde en mængde ''A'' ⊆ [0,1], der består af et element fra hver ækvivalensklasse; denne mængde kaldes en Vitalimængde. Det antages nu, at ''A'' er en ''m''-målelig mængde, og målet er at udlede en absurditet, hvorved det fremgår, at ''m'' ikke er defineret på hele potensmængden af de reelle tal.
Da de rationellerationale tal er en [[tællelig]] mængde, kan de rationellerationale tal i intervallet [0,1] betegnes ''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>, ... . Pr. konstruktion af ''A'' gælder for alle ''k'', at mængderne ''A''<sub>''k''</sub> = ''A'' + ''q''<sub>''k''</sub> er parvis disjunkte, og at
:<math>\bigcup_{n=1}^\infty A + q_n \subseteq [0,2],</math> mens
:<math>\bigcup_{q \in \mathbb{Q}} A + q = \mathbb{R}.</math>
|
