|
[[Fil:Quadratic equation coefficients.png|thumb|Illustration af et andengradspolynomium og effekten af at ændre konstanterne ''a'', ''b'', og ''c''.]]
Et '''andengradspolynomium''' er et [[polynomium]], hvori den uafhængige [[variabel]] indgår i op til anden [[Potens (matematik)|potens]]. Det har altså følgende forskrift:
:<math>P_2(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0</math>
hvor <math>P_2(x)</math> er en [[Funktion (matematik)|funktion]] af den uafhængige variabel <math>x</math>, og <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math> er [[konstant]]er.
En funktion uden andenordensleddet er et [[førstegradspolynomium]]. En funktion, hvor det højeste led er af tredje orden, er et [[andengradspolynomium]].
- hvor <math>P_2(x)</math> er en [[Funktion (matematik)|funktion]] af den uafhængige variabel ''x'', og ''a'', ''b'' og ''c'' er [[reelt tal|reelle]] [[konstant]]er. Det er nødvendigt at ''a'' er forskellig fra nul, da der ellers ville være tale om et [[førstegradspolynomium]], også kaldet [[linjens ligning]].
== Konstanternes rolle ==
== Sammenhæng mellem forskrift og graf ==
[[Fil:Quadratic equation coefficients.png|thumb|right|Andengradspolynomiets graf i [[Kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] er en [[parabel]]. I hvert billede varieres én af konstanter <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math>, mens da andre holdes konstante.]]
Andengradspolynomiets grafiske billede er en [[parabel]] med et toppunkt, som enten er et minimum eller et maksimum, afhængig af om parablens grene (eller ben) vender opad eller nedad (da man kan se parablens grene som værende en mund, kalder man til tider parablen for henholdsvis en glad/konveks eller en sur/konkav parabel). Det hænger sammen med værdien af <math>a</math>, idet en negativ <math>a</math> vil give en konkav/sur parabel, mens en positiv <math>a</math> vil give en konveks/glad parabel.
Hvis konstanten <math>c</math> ændres, ændrer funktionsværdierne sig lige så meget. Konstanten <math>b</math> afgør sammen med <math>a</math>, hvor funktionens [[ekstremum]] er, mens <math>a</math> alene bestemmer [[Krumning (differentialregning)|krumning]]en eller den anden afledte, idet:
:<math>\frac{d^2P_2(x)}{dx^2} = 2a</math>
Det ses, at krumningen bliver større, når <math>a</math> bliver større, og et negativt <math>a</math> giver en negativ krumning.
== Nulpunkter ==
Ved at betragte forskriften for andengradspolynomiet kan der bemærkes flere ting om det grafiske billede. Størrelsen på <math>a</math> angiver hvor stejl grafen er (jo større <math>a</math>, desto stejlere graf) og fortegnet for <math>a</math> fortæller om grafens grene vender op- eller nedad. En parabel med negativt fortegn foran både <math>a</math> og [[diskriminant]]en har derfor ingen løsningsmængde for <math>y = 0</math>, idet den ligger under ''x''-aksen med nedadvendte grene. Det samme gælder hvis <math>a>0</math> og <math>d<0</math>.
{{Uddybende|Andengradsligning}}
[[Fil:Polynomialdeg2.svg|thumb|<math>x</math>-værdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet <math>P_2(x)=x^2-x-2</math> skærer <math>x</math>-aksen er <math>r_1=-1</math> og <math>r_2=2</math>, hvilket er løsninger til andengradsligningen <math>x^2-x-2=0</math>]]
For andengradspolynomiets nulpunkter eller [[Rod (matematik)|rødder]] <math>r_i</math> gælder
:<math>P_2(r_i) = ar_i^2 + br_i + c = 0</math>
hvilket er en [[andengradsligning]].
=== Løsning ===
Man kan også ud fra funktionen se toppunktet i forhold til ''y''-aksen:
Nulpunkterne er givet ved
* Har <math>a</math> og <math>b</math> samme fortegn, ligger toppunktet til venstre for ''y''-aksen.
:<math>r_i=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
* Har <math>a</math> og <math>b</math> forskellige fortegn, ligger toppunktet til højre for ''y''-aksen.
hvor udtrykket i [[kvadratrod]]en [[diskriminant]]en <math>d</math>:
* Er <math>b=0</math> ligger toppunktet på ''y''-aksen.
:<math>d=b^2-4ac</math>
Diskriminanten er afgørende for hvilke løsninger, der er mulige. Det gælder:
* <math>d > 0</math>: 2 [[Reelle tal|reelle]] løsninger:
* <math>d = 0</math>: 1 reel løsning; denne løsning kaldes en [[dobbeltrod]].
* <math>d < 0</math>: Ingen reelle løsninger, men 2 [[komplekst konjugerede]] løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.
Ud fra ligningen kan man også se skæringen på ''y''-aksen, der angives af konstanten <math>c</math>.
== Nulpunktsbestemmelse ==
[[Fil:Polynomialdeg2.svg|thumb|<math>x</math>-værdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet <math>P_2(x)=x^2-x-2</math> skærer <math>x</math>-aksen er <math>x=-1</math> og <math>x=2</math>, hvilket er løsninger til andegradsligningen <math>x^2-x-2=0</math>]]
Polynomiets skæring med <math>x</math>-aksen i et [[kartesisk koordinatsystem]], ofte også kaldet polynomiets [[Rod (matematik)|rødder]] eller nulpunkter, er de <math>x</math>-værdier som løser [[andengradsligning]]en:
:<math>ax^2 + bx + c = 0\,\!</math>
Når man finder løsning(er) til en andengradsligning, leder man således efter de værdier af <math>x</math> hvor andengradsligningens <math>y</math>-værdi(er) lig med <math>0</math>. Derfor kalder man også løsninger til andengradsligningen for nulpunkter.
For andengradsligningen indføres størrelsen ''D'', som kaldes [[diskriminant]]en og er defineret således:
:<math>D = b^2 - 4ac\,\!</math>
Ligningen vil så have rødder, eller løsninger, givet ved følgende formel:
:<math> ax^2 + bx + c = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}</math>
I det reelle talrum kan der være nul, en eller to rødder; i det [[komplekse tal]]rum vil der altid være to rødder hvis de tælles med [[multiplicitet]]. Såfremt der forekommer to komplekse løsninger vil de være hinandens [[komplekskonjugeret|komplekskonjugerede]]. Løsningerne angiver nulpunkterne for andengradspolynomiet og kaldes derfor polynomiets [[Rod (matematik)|rødder]]. De kan visuelt identificeres som de steder hvor afbildningen skærer ''x''-aksen.
* ''D'' > 0: 2 løsninger, begge tilhørende [[Reelle tal|de reelle tal]].
* ''D'' = 0: 1 løsning tilhørende [[Reelle tal|de reelle tal]]; denne løsning kaldes en [[dobbeltrod]], da den er et specialtilfælde af ovenstående.
* ''D'' < 0: Ingen [[Reelle tal|reelle]] løsninger; 2 komplekskonjugerede løsninger i [[Komplekse tal|de komplekse tal]].
=== Udledning af løsningsformlen ===
En måde at udlede løsningsformlen på er som følger:
En andengradsligning har standardformen: <math>ax^2 + bx + c = 0</math> og skal udtrykkes på en form, der muliggør isolering af ''x''. Det sker ved anvendelse af [[kvadratsætningen]]:
:<math>\left(p + q\right)^2 = p^2 + 2pq + q^2\,\!</math>.
Standardligningen ganges med <math>4a</math>, og der fås
:<math>4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\,\!</math>
<math>b^2 - 4ac\,\!</math> lægges til på begge sider af lighedstegnet:
:<math>4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac\,\!</math>
Nu bruges kvadratsætningen på venstre side:
:<math>\left(2ax + b\right)^2 = b^2 - 4ac\,\!</math>
Herefter kan x isoleres:
:<math> 2ax+b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac} \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,\!</math>
== Faktorisering ==
Et hvert andengradspolynomium kan skrives vha. førstegradspolynomier, når rødder kendes. Det skrives da:
Når andengradspolynomiets rødder kendes, kan man faktorisere det i førstegradspolynomier:
:<math>P_2(x)=a(x-r_1)(x-r_2)</math>
Givet polynomiet:
:<math>f(x)= ax^2 + bx +c\,\!</math>
med rødderne <math>r_1</math> og <math>r_2</math>. Rødderne kan være reelle eller komplekse, og de er talt med multiplicitet så de kan også repræsentere en dobbeltrod. Da kan <math>f(x)\!</math> skrives som:
:<math>f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\,\!</math>
== Toppunkt ==
Grafen for et andengradspolynomium har altid et toppunkt, og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel:
:<math> T_p = \left (-\frac {b}{2a}; -\frac {D}{4a} \right) </math>
hvor ''D'' er diskriminanten. Toppunktet vil enten være et minimum eller et maksimum, afhængig af, om koefficienten ''a'' er positiv eller negativ.
=== Udledning af toppunktet ===
For at finde koordinaterne for toppunktet i et andengradspolynomium, skal man finde nulpunktet for dets [[differentialkvotient]]. Da differentialkvotienten for et andengradspolynomium altid vil være et [[førstegradspolynomium]], vil der være netop én rod.
:<math>f(x)=ax^2+bx+c \quad \Leftrightarrow \quad f'(x)=2ax+b \,\!</math>
Roden i <math>f'(x)\,\!</math> findes da som:
=== Bevis ===
:<math>2ax+b=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2ax=-b \quad \Leftrightarrow \quad x=-\frac{b}{2a}</math>
At polynomiet kan udtrykkes med rødderne, kan vises. Først ganges parenteserne sammen:
:<math>P_2(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)</math>
Generelt er rødderne:
:<math>\begin{align}r_1&=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\\
r_2&=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}
\end{align}</math>
Dette indsættes:
:<math>\begin{align}P_2(x)&=a\left(x^2-\left(\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\right)x+\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\right)\\
P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{1}{4a^2}(b^2-d)\right)
\end{align}</math>
Udtrykket for diskriminanten indsættes nu:
:<math>\begin{align}P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{1}{4a^2}(b^2-b^2+4ac)\right)\\
P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{4ac}{4a^2}\right)\\
P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\\
P_2(x)&=ax^2+bx+c
\end{align}</math>
Hvilket er det oprindelige udtryk.
== Symmetri ==
Da <math>-b/(2a)</math> er værdien af ''x'' i toppunktet, kan værdien af ''y'' findes ved at indsætte <math>x = -b/(2a)</math> i forskriften:
Andengradspolynomiet er symmetrisk omkring ét enkelt punkt <math>s</math> givet ved:
:<math>s=-\frac {b}{2a}</math>
=== Bevis for symmetri ===
:{|
Det kan vises ved at teste, om der findes et punkt, der opfylder symmetribetingelsen:
| <math>y \;</math>
| :<math>= a \left P_2(s-\frac{b}{2a} \righth)^2=P_2(s+bh) \left(-\frac{b}{2a}quad , \right)+cquad h \;> 0</math>
hvor <math>h</math> er en konstant. Forskriften skrives ud og forsimples så vidt muligt:
| <math>= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c</math>
:<math>\begin{align} a(s-h)^2 + b(s-h) + c&= a(s+h)^2 + b(s+h) + c\\
|-
a(s-h)^2 + bs-bh&= a(s+h)^2 + bs+bh\\
|
as^2+ah^2-2ash + bs-bh&= as^2+ah^2+2ash + bs+bh\\
|
-2ash -bh&= 2ash +bh\\
| <math>= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c</math>
-h(2as+b)&= h(2as+b)
|-
\end{align}</math>
|
Kun nul kan være lig med minus sig selv. Da <math>h</math> er større end nul, må udtrykket i parentesen være nul:
|
| :<math>= \fracbegin{b^2 - 2b^2align} 2as+ 4ac}{4a}</math>bh&=0\\
2as&=-b\\
|-
s&=-\frac{b}{2a}
|
\end{align}</math>
|
Det ses, at der altså er et punkt, som polynomiet er symmetrisk omkring. Dette er også polynomiets [[ekstremum]], da funktionen enten er stigende på begge sider af punktet eller faldende på begge sider af punktet.
| <math>= \frac{-b^2+4ac}{4a}</math>
|-
|
|
| <math>=\underline{\underline{-\frac{D}{4a}}}</math>
|}
== Ekstremum ==
- idet [[diskriminant]]en, <math>D = b^2 - 4ac \,\!</math> er indført i udtrykket. Samlet set giver det toppunktet:
Et andengradspolynomium har altid ét ekstremum <math>T_p</math>, og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel:
:<math> T_p = \left (-\frac {b}{2a}; -\frac {D}{4a} \right) </math>
:<math>T_p = \left (-\frac {b}{2a}; -\frac {d}{4a} \right) </math>
Det vil enten være [[Maksimum og minimum|et minimum eller et maksimum]] afhængigt af, om konstanten <math>a</math> er positiv eller negativ.
=== Alternativ udledningUdledning af toppunktetekstremum ===
Da <math>x</math>-værdien for polynomiet allerede er fundet under [[Andengradspolynomium#Symmetri|Symmetri]], kan den indsættes i funktionsforskriften for at finde <math>y</math>-værdien:
Man kan også bestemme y-koordinaten ''y''<sub>''p''</sub> for toppunktet ved følgende resænnoment: Ligningen <math>a x^2 + b x + c = k</math> for vilkårligt tal ''k'' vil have netop én løsning, hvis ''k'' er lig med parablens toppunkt. Derfor kan ''y''<sub>''p''</sub> bestemmes ved, at løse følgende ligning:
:<math>\begin{align} y_p&=P_2(s)\\
:<math> a x^2 + b x + c = y_p </math>
y_p&=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c\\
skal have netop én løsning. Med andre ord, diskriminanten skal være nul.
y_p&=a\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c\\
y_p&=-\frac{b^2}{4a} + c\\
y_p&=-\frac{b^2-4ac}{4a}\\
y_p&=-\frac{d}{4a}
\end{align}</math>
hvilket er det ønskede udtryk.
=== Udledning ved differentiation ===
Først skal ''y''<sub>''p''</sub> flyttes over på venstre-siden:
Hvis <math>x</math>-værdien ikke allerede kendes fra symmetrien, kan den findes ved at differentiere andengradspolynomiet, da [[Hældningskoefficient|hældningen]] i et ekstremum er nul. Hældningen er givet ved:
:<math> a x^2 + b x + (c - y_p) = 0 </math>
:<math>\frac{dP_2(x)}{dx^2} = 2ax+b</math>
og dernæst sættes diskriminanten til nul:
Dette sættes til nul, så <math>s</math> kan findes:
:<math> 0 = b^2 - 4 a (c - y_p) </math>
:<math>\begin{align}2as+b&=0\\
:<math> 0 = b^2 - 4 a c + 4 a y_p </math>
2as&=-b\\
:<math> 0 = D + 4 a y_p </math>
s&=-\frac{b}{2a}
Her isoleres ''y''<sub>''p''</sub> og resultat bliver:
:<math> y_p = -\fracend{Dalign}{4a} </math>
Det ses, at ekstremum er det samme som symmetripunktet.
== Se også ==
* [[Polynomium]]
* [[Tredjegradspolynomium]]
== Litteratur ==
| 