Versionen fra 6. maj 2019, 23:46 redigér Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits m →‎Udledning af ekstremum: mindre notationsændring Tag: 2017-kilderedigering ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 7. maj 2019, 00:29 redigér fjern redigering Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits Genindsætter afsnit om toppunktnotation - omskrevet. Tag: 2017-kilderedigering Gå til næste forskel →
Linje 27: * <math>d = 0</math>: 1 reel løsning; denne løsning kaldes en [[dobbeltrod]]. * <math>d < 0</math>: Ingen reelle løsninger, men 2 [[komplekst konjugerede]] løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal. == Faktorisering ==▼ ~~Et hvert andengradspolynomium kan skrives vha. førstegradspolynomier, når rødder kendes. Det skrives da:~~ :<math>P_2(x)=a(x-r_1)(x-r_2)</math>▼ ~~=== Bevis ===~~ At polynomiet kan udtrykkes med rødderne, kan vises. Først ganges parenteserne sammen:▼ :<math>P_2(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)</math>▼ Generelt er rødderne:▼ :<math>\begin{align}r_1&=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\\▼ r_2&=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}▼ \end{align}</math>▼ Dette indsættes:▼ :<math>\begin{align}P_2(x)&=a\left(x^2-\left(\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\right)x+\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\right)\\▼ P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{1}{4a^2}(b^2-d)\right)▼ \end{align}</math>▼ Udtrykket for diskriminanten indsættes nu:▼ :<math>\begin{align}P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{1}{4a^2}(b^2-b^2+4ac)\right)\\▼ P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{4ac}{4a^2}\right)\\▼ P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\\▼ P_2(x)&=ax^2+bx+c▼ \end{align}</math>▼ Hvilket er det oprindelige udtryk.▼ == Symmetri == Line 97 ⟶ 74: \end{align}</math> Det ses, at ekstremum er det samme som symmetripunktet. == Omskrivninger == Forskriften for et andengradspolynomium kan omskrives, så forskellige aspekter ved polynomiet bliver tydeligere. Herunder præsenteres faktorisering og toppunktsnotation. ▲=== Faktorisering === For at gøre rødderne tydelige kan et andengradspolynomium skrives som: ▲:<math>P_2(x)=a(x-r_1)(x-r_2)</math> ==== Bevis for faktorisering ==== ▲At polynomiet kan udtrykkes med rødderne, kan vises. Først ganges parenteserne sammen: ▲:<math>P_2(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)</math> ▲Generelt er rødderne: ▲:<math>\begin{align}r_1&=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\\ ▲r_2&=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a} ▲\end{align}</math> ▲Dette indsættes: ▲:<math>\begin{align}P_2(x)&=a\left(x^2-\left(\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\right)x+\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\right)\\ ▲P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{1}{4a^2}(b^2-d)\right) ▲\end{align}</math> ▲Udtrykket for diskriminanten indsættes nu: ▲:<math>\begin{align}P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{1}{4a^2}(b^2-b^2+4ac)\right)\\ ▲P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{4ac}{4a^2}\right)\\ ▲P_2(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\\ ▲P_2(x)&=ax^2+bx+c ▲\end{align}</math> ▲Hvilket er det oprindelige udtryk. === Toppunktsnotation === For at gøre polynomiets ekstremum tydeligt, kan forskriften skrives som: :<math>P_2(x)=a(x-s)^2+t</math> ==== Bevis for toppunktsnotation ==== Ligesom faktorisering kan denne notation vises ved at indsætte udtrykkene for ekstremum: :<math>\begin{align}P_2(x)&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{d}{4a}\\ P_2(x)&=a\left(x^2+\frac {b^2}{4a^2}+\frac{b}{a}x\right)-\frac{d}{4a}\\ P_2(x)&=ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}-\frac{d}{4a}\\ P_2(x)&=ax^2+bx+\frac{b^2-d}{4a} \end{align}</math> Udtrykket for diskriminanten indsættes: :<math>\begin{align}P_2(x)&=ax^2+bx+\frac{b^2-b^2+4ac}{4a}\\ P_2(x)&=ax^2+bx+c \end{align}</math> Hvilket er det oprindelige udtryk. == Litteratur ==

Andengradspolynomium: Forskelle mellem versioner