|
[[Fil:Gifsmos(parabel).gif|thumb|Figurright|Løsningerne 1:til Parabel|320x320pxandengradsligningen er rødderne til et andengradspolynomium.]]
En '''andengradsligning''' i [[matematik]] er en [[ligning]], der kan skrives på formen:
<math>ax^2+bx+c\ =0\quad , \quad a \neq 0</math>,
idet ''a'', ''b'' og ''c'' er konstanter, der repræsenterer kendte eller ukendte talværdier. AndengradsligningenAndengradsligningens brugesløsninger især,er nårrødderne man skal beregne, hvor en [[parabel]],til bestemtdet vedtilsvarende [[Andengradspolynomium|andengradspolynomietandengradspolynomium]].
== Ligningens løsninger ==
<math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c\quad , \quad a \neq 0 </math>
Den generelle løsning er:
:<math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
hvor udtrykket i [[kvadratrod]]en [[diskriminant]]en <math>d</math>:
:<math>d=b^2-4ac</math>
Diskriminanten er afgørende for hvilke løsninger, der er mulige. Det gælder:
* <math>d > 0</math>: 2 [[Reelle tal|reelle]] løsninger:
* <math>d = 0</math>: 1 reel løsning; denne løsning kaldes en [[dobbeltrod]].
* <math>d < 0</math>: Ingen reelle løsninger, men 2 [[komplekst konjugerede]] løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.
=== Udledning af ligningens løsninger ===
eventuelt skærer [[X-akse|''x''-aksen]] og har sit toppunkt <math>\left(s , t\right)</math>, givet ved:
For at løse andengradsligningen er det praktisk at opskrive den vha. [[Andengradspolynomium#Toppunktsnotation|toppunktsnotation]], hvor ekstremum er <math>\left(s,t\right)</math>:
:<math>a\left(x-s=\frac{-b}{2a}</math> og <math>right)^2+t=\frac{-d}{4a}0</math>,
Det ses, at <math>x</math> kun optræder et enkelt sted, og det er derfor nemmere at isolere:
:<math>\begin{align} a\left(x-s\right)^2+t&=0\\
idet [[diskriminant]]en <math>d=b^2-4ac</math>.
\left(x-s\right)^2&=-\frac{t}{a}\\
x-s&=\pm \sqrt{-\frac{t}{a}}\\
Skærer parablen x-aksen to steder, som det er tilfældet i figur 1, er skæringspunkternes [[Abscisse|førstekoordinater]] bestemt ved:
x&=s \pm \sqrt{-\frac{t}{a}}
\end{align}</math>
<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}</math> og <math>x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}</math>,
Således er <math>x</math> isoleret. Ekstremum (<math>s</math>, <math>t</math>) [[Andengradspolynomium#Ekstremum|er givet ved]]:
:<math>\begin{align} s&=-\frac{b}{2a}\\
mens [[Ordinat|andenkoordinaterne]] begge er nul. Har ligningen kun én [[rod (matematik)|rod]], er skærings- eller rettere [[røringspunkt]]et sammenfaldende med toppunktet. Det vises nedenfor, hvordan formlerne kan udledes, dvs. bevises, men forinden skal det kort nævnes, at hvis
t&=-\frac{d}{4a}
* ''d'' < 0, er der ingen rødder, da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal.
\end{align}</math>
* ''d'' = 0, er der kun én dobbeltrod, idet ''x''<sub>1</sub> og ''x''<sub>2</sub> giver samme resultat.
Dette indsættes i udtrykket for <math>x</math>:
* ''d'' > 0, er der to forskellige rødder, idet ''x''<sub>1</sub> og ''x''<sub>2</sub> giver forskellige resultater.
:<math>\begin{align} x&=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{d}{4a^2}}\\
x&=\frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}
== Toppunktet bestemmes ==
\end{align}</math>
Da parablen er symmetrisk omkring den lodrette, stiplede linje, der går gennem toppunktet (jf. figur 1 samt [[Andengradsligning#Bevis for parablens symmetri|Bevis for parablens symmetri]]), kan ''s'' beregnes ved at bestemme ''x'' i nedenstående ligning, hvor ''h'' er et vilkårligt reelt tal:
Diskriminanten indsættes:
:<math>f\left(x-h\right)=f\left(x+hfrac{-b \right)pm \Longleftrightarrowsqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
Ligningen er nu løst.
<math>a\left(x-h\right)^2+b\left(x-h\right)+c=a\left(x+h\right)^2+b\left(x+h\right)+c\Longleftrightarrow</math>
<math>a\left(x-h\right)^2-a\left(x+h\right)^2=b\left(x+h\right)-b\left(x-h\right)\Longleftrightarrow</math>
<math>a\left(\left(x-h\right)^2-\left(x+h\right)^2\right)=b\left(\left(x+h\right)-\left(x-h\right)\right)\Longleftrightarrow</math>
<math>a\left(\left(\left(x-h\right)+\left(x+h\right)\right)\left(\left(x-h\right)-\left(x+h\right)\right)\right)=b\left(h+h\right)</math>,
idet vi netop har anvendt [[Kvadratsætningen#Varianter|kvadratsætningen]], ifølge hvilken det gælder, at differencen mellem to tals kvadrater er lig med de to tals sum ganget med de samme to tals differens. Her er de to tal ( ''x'' - ''h'' ) og ( ''x'' + ''h'' ). Efter hævning af diverse parenteser og yderligere reduktion finder vi, at:
<math>a\left(\left(x+x\right)\left(-h-h\right)\right)=2bh\Longleftrightarrow</math>
<math>2ax\left(-2h\right)=2bh\Longleftrightarrow2ax=-b\Longrightarrow</math>
<math>s=\frac{-b}{2a}</math>.
Med fundet af toppunktets ''x''-værdi ''s'' kan andenkoordinaten ''t'' bestemmes således:
<math>t=f\left(\frac{-b}{2a}\right)</math>
<math>=as^2+bs+c</math>
<math>=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c</math>
<math>=\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c</math>
<math>=\frac{b^2}{4a}+\frac{-2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}</math>
<math>=\frac{-b^2+4ac}{4a}\Longleftrightarrow</math>
<math>t=\frac{-\left(b^2-4ac\right)}{4a}=\frac{-d}{4a}</math>.
== Rødderne bestemmes ==
Med fundet af toppunktet <math>\left(s,t\right)</math> kan andengradsligningen også skrives med [[Andengradsligning#Toppunktsnotation (vertex form)|Toppunktsnotation]]:
<math>a\left(x-s\right)^2+t=0\Longleftrightarrow</math>
<math>a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2+\frac{-d}{4a}=0\Longleftrightarrow</math>
<math>a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2=\frac{d}{4a}\Longleftrightarrow</math>
<math>\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2=\frac{d}{4a^2}.</math>
Efter at vi har divideret med ''a'' på hver side af lighedstegnet, får vi, at:
<math>x-\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{d}}{2a}\Longrightarrow</math>
<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}</math> og <math>x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}</math>.
Med fundet af røddernes førstekoordinater <math>x_1</math> og <math>x_2</math> kan andengradspolynomiet (parablens ligning) skrives sådan:
<math>y=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)</math>.
== Toppunkt ved hjælp af differentiation ==
Differentieres andengradspolynomiet, kan ''s'' også bestemmes som det ''x'', i hvilket [[parablens tangent]], der er et såkaldt [[approksimerende førstegradspolynomium]], har hældningen 0 og dermed fremstår som en vandret linje. Det gøres sådan:
<math>f'\left(x\right)=0\Longleftrightarrow</math>
<math>\frac{d}{dx}f\left(x\right)=0\Longleftrightarrow</math>
<math>2ax+b=0\Longrightarrow</math>
<math>s=-\frac{b}{2a}\Longrightarrow</math>
<math>t=f\left(s\right).</math>
Tangentligningen er herefter givet ved:
<math>y=f'\left(s\right)\left(x-s\right)+f\left(s\right).</math>
== Bevis for parablens symmetri ==
Hvis parablen er symmetrisk omkring ''s'', og ''h'' er et vilkårligt reelt tal, så gælder det for alle værdier af ''h'', at:
<math>f\left(s+h\right)=f\left(s-h\right)\Longleftrightarrow</math>
<math>f\left(\frac{-b}{2a}+h\right)=f\left(\frac{-b}{2a}-h\right).</math>
Vi finder nu (enten manuelt eller ved hjælp af en CAS-regner), at
<math>f\left(\frac{-b}{2a}+h\right)=a\left(\frac{-b}{2a}+h\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}+h\right)+c=-\frac{d}{4a}+ah^2</math>
<math>f\left(\frac{-b}{2a}-h\right)=a\left(\frac{-b}{2a}-h\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}-h\right)+c=-\frac{d}{4a}+ah^2</math>.
Da højresiderne i de to ovenstående ligninger er ens, kan vi konkludere, at venstresiderne også er det. Sættes ''h'' lig med nul, ser vi, at toppunktets andenkoordinat ''t'' i begge tilfælde er givet ved:
<math>t=\frac{-d}{4a}</math> , og hermed er beviset fuldført.
== Toppunktsnotation (vertex form) ==
Skrivemåden <math>a\left(x-s\right)^2+t=0</math>,
der tillader horisontal og vertikal forskydning af parablen ved ændring af ''s'' og ''t'', fås på følgende måde:
<math>y=a\left(x-s\right)^2+t\Longleftrightarrow</math>
<math>y=a\left(x^2+s^2-2sx\right)+t\Longleftrightarrow</math>
<math>y=ax^2-2asx+as^2+t,</math>
hvori formlerne for ''s'' og ''t'' indsættes:
<math>y=ax^2-2a\left(\frac{-b}{2a}\right)x+a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+\frac{-\left(b^2-4ac\right)}{4a}\Longleftrightarrow</math>
<math>y=ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2-4ac}{4a}\Longleftrightarrow</math>
<math>y=ax^2+bx+c\Longrightarrow</math>
<math>ax^2+bx+c=0.</math>
== Se også ==
* Begrebet [[polynomium]].
== Eksterne henvisninger ==
| 