Versionen fra 11. jun. 2019, 22:34 redigér Dipsacus fullonum (diskussion \| bidrag) Udvidede bekræftede brugere, Brugerfladeredaktører, Patruljanter 36.776 edits m Retter flertydige links til Sinus (link ændret til Sinus (matematik)) med DisamAssist. ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 16. jun. 2019, 12:10 redigér fjern redigering Inc (diskussion \| bidrag) Patruljanter 12.171 edits BAC-CAB-reglen Tag: 2017-kilderedigering Gå til næste forskel →
Linje 36: Krydsproduktet er hverken [[kommutativitet\|kommutativt]] eller [[associativitet\|associativt]]. ==Se ~~også~~BAC-CAB-reglen == For krydsproduktet mellem tre vektorer gælder: * [[Skalarprodukt]] :<math>\vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) =\vec{b}\left(\vec{a} \cdot \vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a} \cdot \vec{b}\right)</math> Et krydsprodukt er altså blevet erstattet med et [[skalarprodukt]], der er givet ved: :<math>\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3</math> Som huskeregel kaldes denne relation for BAC-CAB-reglen.<ref name="Wolfram">{{Kilde \| efternavn = \| fornavn = \| titel = BAC-CAB Identity \| værk = [[Wolfram Mathworld]] \| udgiver = [[Wolfram Research]] \| sider = \| url = http://mathworld.wolfram.com/BAC-CABIdentity.html \| hentet = 16. juni 2019}}</ref> === Bevis === For krydsproduktet mellem <math>\vec{b}</math> og <math>\vec{c}</math> gælder: :<math>\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix}</math> Derefter kan <math>\vec{a}</math> krydses på: :<math>\begin{align}\vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) & = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix}\\ \vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) & = \begin{pmatrix} a_2 b_1 c_2 - a_2 b_2 c_1 - a_3 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_3\\ a_3 b_2 c_3 - a_3 b_3 c_2 - a_1 b_1 c_2 + a_1 b_2 c_1\\ a_1 b_3 c_1 - a_1 b_1 c_3 - a_2 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_2 \end{pmatrix}\end{align}</math> Det ses, at alle led er blandede, så et ublandet led :<math>0= a_i b_i c_i - a_i b_i c_i</math> lægges til og trækkes fra hver komponent: :<math>\vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) = \begin{pmatrix} a_2 b_1 c_2 - a_2 b_2 c_1 - a_3 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_3 + a_1 b_1 c_1 - a_1 b_1 c_1\\ a_3 b_2 c_3 - a_3 b_3 c_2 - a_1 b_1 c_2 + a_1 b_2 c_1 + a_2 b_2 c_2 - a_2 b_2 c_2\\ a_1 b_3 c_1 - a_1 b_1 c_3 - a_2 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_2 + a_3 b_3 c_3 - a_3 b_3 c_3 \end{pmatrix}</math> Udtrykket kan nu opdeles i positive og negative led: :<math>\vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) = \begin{pmatrix} a_2 b_1 c_2 + a_3 b_1 c_3 + a_1 b_1 c_1\\ a_3 b_2 c_3 + a_1 b_2 c_1 + a_2 b_2 c_2\\ a_1 b_3 c_1 + a_2 b_3 c_2 + a_3 b_3 c_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} a_2 b_2 c_1 + a_3 b_3 c_1 + a_1 b_1 c_1\\ a_3 b_3 c_2 + a_1 b_1 c_2 + a_2 b_2 c_2\\ a_1 b_1 c_3 + a_2 b_2 c_3 + a_3 b_3 c_3 \end{pmatrix}</math> Dette kan omarrangeres til at ses ud som BAC-CAP-reglen: :<math>\begin{align}\vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) & = \begin{pmatrix} b_1(a_2 c_2 + a_3 c_3 + a_1 c_1)\\ b_2(a_2 c_2 + a_3 c_3 + a_1 c_1)\\ b_3(a_2 c_2 + a_3 c_3 + a_1 c_1) \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} c_1(a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_1 b_1 )\\ c_2(a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_1 b_1 )\\ c_3(a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_1 b_1 ) \end{pmatrix}\\ \vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) & = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}(a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3)- \begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3 \end{pmatrix}(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)\\ \vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c}\right) & =\vec{b}\left(\vec{a} \cdot \vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a} \cdot \vec{b}\right)\end{align}</math> == Kildehenvisninger == {{Reflist}} [[Kategori:Vektorer]]

Krydsprodukt: Forskelle mellem versioner