Gauss–Seidel-metoden

Gauss–Seidel-metoden er inden for lineær algebra en iterativ metode til at løses et lineært ligningssystem.

Metoden er opkaldt efter Carl Friedrich Gauss og Philipp Ludwig von Seidel.

Metoden

Et lineært ligningssystem er givet ved:

$Ax=b$

hvor $A$ er en $n\times n$-matrix , $b$ er en $n\times 1$-vektor, og $x$ er en ubekendt $n\times 1$-vektor. For at løse for $x$ skal $A$ inverteres, men det kan være svært eller umuligt. I stedet deler man i Gauss–Seidel-metoden $A$ op i to matricer

$A=L+U\qquad {\text{hvor}}\qquad L={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\quad U={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}.$

Dermed bliver ligningssystemet:

${\begin{aligned}Lx+Ux&=b\\Lx&=b-Ux\end{aligned}}$

Ved at invertere $L$ kan metoden formelt skrives som

$x_{k+1}=L^{-1}(b-Ux_{k})$

hvor $x_{k}$ er en iteration, og $x_{k+1}$ er den næste iteration.

I praksis er metoden dog bedre gengivet elementvist som:

$x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\dots ,n.$