Poisson-Boltzmann-ligningen

I plasmaer og elektrolytter beskriver Poisson-Boltzmann-ligningen, hvordan det elektriske felt spreder sig pga. elektrisk skærmning; dvs. når ladninger udligner hinanden. Den lineariserede version kaldes for Debye-Hückel-ligningen.

Poisson-Boltzmann-ligningen beskriver interagerende ladningsbærere i form af ioner og evt. elektroner. Et hverdagseksempel er køkkensalt opløst i vand.

Ligningen er opkaldt efter Siméon Denis Poisson og Ludwig Boltzmann, men modellen blev oprindeligt formuleret uafhængigt af Louis Georges Gouy og David Leonard Chapman i henholdsvis 1910 og 1913.

Udledning

Det elektriske felt ${\vec {E}}$ fra en ladningsdensitetet $\rho$ er generelt givet ved Gauss' lov:

$\nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon }}$

Det elektriske potential $\varphi$, dvs. potentiel energi pr. ladning, er relateret til det elektriske felt ved

${\vec {E}}=-\nabla \varphi$

og derfor er det relateret til ladningsdensiteten ved en Poisson-ligning:

$\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}$

Plasma og elektrolytter består af mobile ladninger i form af ioner og elektroner. Densiteten $n_{s}$ af hver af disse giver samlet ladningsdensiteten:

$\rho =e\sum _{s}Z_{s}n_{s}$

Indsættes udtrykket for ladningsdensiteten i relationen for det elektriske potential, ses det, at

$\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {e}{\varepsilon }}\sum _{s}Z_{s}n_{s}$

Interaktionsenergien $E_{s}$ mellem en ladningsbærer og det elektriske felt er givet ved:

$E_{s}=eZ_{s}\varphi$

Densiteten kan dermed findes vha. Boltzmann-fordelingen:

$n_{s}=n_{s}^{\circ }e^{-{\frac {E_{s}}{k_{B}T}}}=n_{s}^{\circ }e^{-{\frac {eZ_{s}\varphi }{k_{B}T}}}$

hvor $n_{s}^{\circ }$ er densiteten, hvis potentialet er nul. Det antages her, at hele systemet har opnået termodynamisk ligevægt og dermed har samme temperatur $T$ overalt. Dermed bliver ligningen for $\varphi$:

$\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {e}{\varepsilon }}\sum _{s}Z_{s}n_{s}^{\circ }e^{-{\frac {eZ_{s}}{k_{B}T}}\varphi }$

Hvis der er eksterne ladninger $\rho _{\text{ext}}$ kan de lægges til:

$\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {e}{\varepsilon }}\sum _{s}Z_{s}n_{s}^{\circ }e^{-{\frac {eZ_{s}}{k_{B}T}}\varphi }-{\frac {\rho _{\text{ext}}}{\varepsilon }}$

Dette er Poisson-Boltzmann-ligningen. Ud fra denne differentialligning kan $\varphi$ findes, skønt det ofte er nødvendigt at finde en numerisk løsning.

Alternativt kan den lineariseres, hvilket giver Debye-Hückel-ligningen.